8 Poynting Vector (Larmorの公式)

Poynting Vector を

$$\bm{P}\xt \equiv \frac{\vE\xt\times \vB\xt}{\mu_0}$$ (41)

で定義すれば、 これは単位時間当たり単位面積を通る電磁波のエネルギー流束である。 従って、 加速度運動をしている粒子を取り囲む無限に大きな球を考えて、 その球面を通過する全エネルギーを計算してやれば、 粒子の発する電磁波の全エネルギーの放射率を計算できる。 球面の面積は $4\pi R^2$ で与えられることを考えれば、 Eq.(31)とEq.(40) の中で、 無限遠の球面上で積分をして生き残る項は $1/R$ に比例する部分、 従って Poynting Vector としては $1/R^2$ に比例する項である。 そこで無限遠で生き残る部分を取り出して、

$$\vE_{\rm rad}\xt = \frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \frac{ \vn (\vx,t')... ...,t')\right) \times \dot{\bm{\beta}}(\vx,t')\right] }{\kappa^3(\vx,t')R(\vx,t')}$$ (42)

$$\vB\xt = \frac{\vn(\vx,t')\times \vE_{\rm rad}\xt}{c}$$ (43)

とする。

定義通り Poynting Vector を計算すると

$$\bm{P}\xt = \frac{\vE_{\rm rad}\xt \times \vB_{\rm rad}\xt}{\mu_0} = \frac{... ...E_{\rm rad}^2 \vn - \left(\vn\cdot \vE_{\rm rad}\right)\vE_{\rm rad} }{c \mu_0}$$

$$=\frac{\vE_{\rm rad}^2}{c\mu_0}\vn,\qquad \because\, \vE_{\rm rad} \perp \vn\longrightarrow \vE\cdot \vn =0$$ (44)

となる。 $\left\vert\bm{\beta}\right\vert\ll 1$ の極限では、 $\kappa \to 1$ となり、

$$\bm{P}\xt = \frac{1}{c\mu_0} \left(\frac{q}{4\pi \mu_0 c}\right)^2 \frac{ \... ...ft(\vn \cdot \dot{\bm{\beta}}\right) \vn -\dot{\bm{\beta}} \right]^2 }{R^2} \vn$$

$$= \frac{1}{c\mu_0} \left(\frac{q}{4\pi \mu_0 c}\right)^2 \frac{ \... ...}\right\vert^2-2\left\vert\dot{\bm{\beta}}\right\vert^2 \cos^2\Theta }{R^2} \vn$$

$$= \frac{1}{c\mu_0} \left(\frac{q}{4\pi \mu_0 c}\right)^2 \frac{\left\vert\dot{\bm{\beta}}\right\vert^2 \sin^2\Theta }{R^2} \vn$$ (45)

と書ける。 ここで $\Theta$ は $\vn$ と $\dot{\bm{\beta}}$ が成す角である。 従って、 半径無限大の球面上で積分を実行すると、 微小立体角 $d\Omega$ を使って、 $d\bm{S}\cdot \vn d\Omega \,\vn \cdot \vn= R^2 d\Omega$ であるから、

$$P \equiv \int_{R\to\infty} d\bm{S}\, \cdot \bm{P}\xt =\frac{q^2}{16... ...i \int_{0}^\pi d\Theta\, R^2 \sin\Theta\frac{\dot{\vu}^2 \sin^2\Theta}{c^2 R^2}$$

$$=\frac{q^2 \dot{\vu}}{8\pi \vepsilon_0 c^3} \int_{0}^\pi d\Theta\... ...\Theta -\sin3\Theta}{4} = \frac{q^2\dot{u}^2}{8\pi \vepsilon_0 c^3} \frac{4}{3}$$

$$=\frac{q^2\dot{\vu}}{6\pi \vepsilon_0 c^3} =\frac{2}{3} \frac{1}{4\pi \vepsilon_0} \frac{q^2\dot{\vu}^2}{c^3}$$ (46)

となる。 これは加速度運動をする非相対論的な荷電粒子から放出される電磁波が単位時間当たりに発するエネルギーであり、 Eq.(46)は Larmor の公式と呼ばれている。