3 ローレンツ変換

二つの慣性座標系 $O$ と $\overline{O}$ の間の線形座標変換で、 Eq.(1)を満たすものローレンツ変換である。 空間座標 $x^i$ をデカルト座標にとるとき、 二つの慣性座標系間のローレンツ変換は、 座標間の相対速度 ${\bf v}$ だけに依存し、 座標系の回転などを考えず、 proper なもの

$$\det\left(\Lambda_\alpha^{\bar{\beta}}({\bf v})\right)=1$$ (3)

に限れば、一般に

$$\bar{x}^\alpha = \Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}({\bf v}) x^\beta$$ (4)

$$\Lambda_{0}^{\bar{0}}(\vv) =\gamma,\quad \Lambda_{0}^{\bar{i}}(\v... ...,\quad \Lambda_{j}^{\bar{i}}(\vv) = \delta_{j}^i + v^i v_j (\gamma-1)/{\bf v}^2$$ (5)

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\bf v}^2}},\quad {\bf v} \leftrightarrow {\bf v}/c$$ (6)

で与えられる。 ここで両慣性座標系間の相対速度 ${\bf v}$ は光の速度で規格化してあり、 $\delta_{\beta}^\alpha$ は Kronecher delta である。

座標変換の行列を

$$\Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} ({\bf v}) \equiv \del{\bar{x}^\bet... ...d \Lambda_{\bar{\alpha}}^{\beta} ({\bf v}) \equiv \del{x^\beta}{\bar{x}^\alpha}$$ (7)

で定義すれば、 $\Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} ({\bf v}),\Lambda_{\bar{\alpha}}^{\beta}({\bf v})$ が

$$\Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} ({\bf v}) \Lambda_{\bar{\beta}}^... ... \del{x^\gamma}{\bar{x}^\beta}=\del{x^\gamma}{x^\alpha} =\delta_{\alpha}^\gamma$$ (8)

を満たす。 例えば、 二つの近接した事象間隔を表す四元ベクトル $d{\bf x}$ の反変成分 $dx^\alpha$ や共変成分 $dx_\alpha$ はそれぞれ

$$d\bar{x}^\alpha =\del{\bar{x}^\alpha}{x^\beta}dx^\beta =\Lambda_{... ... =\del{x^\beta}{\bar{x}^\alpha}dx_\beta =\Lambda_{\bar{\beta}}^{\alpha}dx_\beta$$ (9)

と変換されるものとする。 同様にすれば、二階のテンソルは

$$\overline{T}^{\alpha \beta} = \del{\bar{x}^\alpha}{x^\gamma}\del{... ... \Lambda_{\bar{\alpha}}^{\gamma}\Lambda_{\bar{\beta}}^{\delta} T_{\gamma\delta}$$ (10)

などと変換される。

また計量テンソルを用いて反変成分と共変成分とが

$$dx_\alpha = \eta_{\alpha \beta}dx^\beta, \quad dx^\alpha = \eta^{... ...rightarrow \qquad d x_0 = -d x^0,d x^0 = -d x_0, \quad dx_i = dx^i, dx^i = dx_i$$ (11)

などで結びつけられる。 ここで $\left( \eta^{\alpha \beta}\right)\equiv \left(\eta_{\alpha \beta}\right)^{-1} = \left(\eta_{\alpha \beta}\right)$ である。