1 粘性による散逸エネルギー

粘性による単位時間体積当たりの散逸エネルギー発生率 $\varepsilon$ は

$$\varepsilon = \sum_{i,j=1}^{3} \tilde{\sigma}_{ij} \frac{\partial... ...l x_j} = \frac{1}{2\eta} \sum_{i,j=1}^{3}\tilde{\sigma}_{ij}\tilde{\sigma}_{ij}$$ (15)

で与えられる。ここでは ${\nabla} \cdot \bm{v} =0$ を仮定している。 従って、もし応力テンソルの $r\phi$ 成分だけが零でないとすれば、 散逸エネルギー発生率を円盤の厚さについて積分して

$$\bar{\varepsilon} = \int_{-h}^{h} \varepsilon dz =\frac{1}{2\eta} \int_{-h}^{h} dz ... ...{-h}^{h} dz \, \eta \rho \nu\left( r\frac{\partial \Omega}{\partial r}\right)^2$$

$$= \int_{-h}^{h} dz \,\rho \nu\left( r\frac{\partial \Omega}{\part... ...h}^{h} \rho dz = \nu \Sigma \left(r \frac{\partial \Omega}{\partial r}\right)^2$$ (16)

となることが分かる。 またこのとき $\Omega=\Omega_k$ とすると

$$\nu \Sigma \left\{ r\left(\frac{\partial \Omega}{\partial r}\righ... ...} =\frac{3GM \dot{M}}{4\pi} \left(r^{-3} -r^{-7/2} r_\mathrm{in}^{1/2} \right)$$

であるから、散逸エネルギーは次のように計算することができる。（微小面積 $2\pi r \,dr$ と散逸発生率との積を $r_\mathrm{in}$ から無限大まで積分する）

$$\int_{r_\mathrm{in}}^{\infty} 2\pi r \bar{\varepsilon} dr = \frac... ...}\right]_{r_\mathrm{in}}^{\infty} =\frac{1}{2} \frac{GM \dot{M}}{r_\mathrm{in}}$$ (17)

従ってこのとき、 重力エネルギーの半分は輻射として円盤から放出されるが、残りの半分は中心の星（と円盤との境界）にまで持ち越されることになる。