1 拡散方程式

微分方程式の一つである拡散（熱伝導）方程式(diffusion equation)

$$\del{y}{t} =f(x,y) \dell{y}{x}$$

の数値積分の例として、最も簡単な拡散方程式

$$\del{u}{t} =\dell{u}{x}$$ (1)

を適当な初期条件の許で積分して、 関数 $u(x,t)$ を求めることを考える。 ここで、時間 $t$ も空間 $x$ も適当に無次元化されているものとする。

空間の積分領域は $x$ について

$$0 \leq x \leq 1$$ (2)

とし、初期条件は適当な関数 $\Phi(x)$ を用いて v

$$u(x,t=0) = \Phi(x)$$ (3)

で与えられるものとする。 境界条件として任意の時刻 $t$ で

$$u(x=0,t) = u(x=1,t)=0$$ (4)

が成り立っているものとする。