2 フーリエ級数

フーリエ（逆）変換を離散的に書くと以下のようになる。

$$f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega t},\quad c_n \sim \frac{1}{T}\int_T f(t) e^{-in\omega t} dt$$ (3)

$$g(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} d_n e^{i n k x},\quad d_n \sim \frac{1}{\lambda}\int_\lambda g(x) e^{-ink x} dx$$ (4)

フーリエ変換の離散的な表現は確かにフーリエ級数であるが、 $n\to\infty$の極限でフーリエ級数は必ずしも $f(t)\,\,{\rm or}\,\,g(x)$に収束しないので、 単に対応の意味で` $\sim$ 'と書き、` $=$ 'を用いない。

$f(t)$は複素フーリエ級数を用いて

$$f(t) \sim \sum_{n-\infty}^{-1} c_n e^{i n\omega t} + c_0 + \sum_{n=1}^... ..._{n=1}^{+\infty} \left( c_n e^{in \omega t} + c_{-n} e^{-in\omega t}\right)+c_0$$

$$= \sum_{n=1}^{+\infty}C_n + c_0,\qquad C_n = c_n e^{in \omega t} + c_{-n} e^{-in\omega t}$$ (5)

と書くことができる。