8 単位体積当たりの完全縮退気体粒子の運動エネルギー

単位体積当たりの完全縮退気体粒子の運動エネルギーを計算することを考える。 粒子の運動エネルギーは相対論的な場合も考慮するとき、 単位体積当たりの縮退粒子の運動エネルギーは

$$u=\int_0^{p_f} K\,g\,\frac{4\pi p^2}{h^3}\,dp$$ (46)

で与えられる。 これを計算すると $K=mc^2 \left(\sqrt{1+(p/mc)^2}-1\right)$ であるから

$$u =\int_0^{p_f} K\,g\,\frac{4\pi p^2}{h^3}\,dp =\frac{4\pi g mc^2}{... ...^2\,dp =\frac{4\pi g m^4 c^5}{h^3}\int_0^{x}\left(\sqrt{1+s^2}-1\right)s^2 \,ds$$

$$=\frac{4\pi g m^4 c^5}{h^3}\left[ \int_0^{x}s^2\sqrt{1+s^2}\,ds -... ...qrt{1+x^2} -\int_0^x \frac{s^4}{\sqrt{1+s^2}}\,ds\right) -\frac{x^3}{3} \right]$$

$$=\frac{\pi m^4c^5}{3h^3}\left[ 8 x^3 \left( \sqrt{1+x^2}-1\right) -f(x)\right] =\frac{\pi m^4c^5}{3h^3} g(x)$$

となり

$$u =\frac{\pi m^4c^5}{3h^3} g(x)\, , \qquad g(x)=8 x^3 \left( \sqrt{1+x^2}-1\right) -f(x)$$ (47)

であることが分かる。 また

$$u =\frac{\pi m^4c^5}{3h^3} g(x) =\frac{8\pi m^4c^5}{3h^3}x^3 \lef... ...m^4c^5}{3h^3}f(x) =\frac{8\pi m^4c^5}{3h^3} x^3\left( \sqrt{1+x^2}-1\right) -P$$

であるから、$x\to 0$ の極限で

$$P = \frac{\pi m^4c^5}{3h^3}f(x) \approx \frac{\pi m^4c^5}{3h^3} \frac{8}{5}x^5 =\frac{8}{15}\frac{\pi m^4c^5}{h^3}x^5$$

$$\frac{8\pi m^4c^5}{3h^3}x^3 \left(\sqrt{1+x^2}-1\right) \approx \... ...{8}x^4+\cdots -1\right) = \frac{8\pi m^4c^5}{15h^3} \frac{5}{2}x^5=\frac{5}{2}P$$

$$\Longrightarrow \quad u=\frac{3}{2}P$$

となるので

$$P \to \frac{2}{3}u$$ (48)

であることが分かる。 同様に $x\to \infty$ の極限で

$$P = \frac{\pi m^4c^5}{3h^3}f(x) \approx \frac{\pi m^4c^5}{3h^3} \cdot 2x^4 =\frac{2}{3}\frac{\pi m^4c^5}{h^3}x^4$$

$$\frac{8\pi m^4c^5}{3h^3}x^3 \left( \sqrt{1+x^2}-1\right) \approx ... ...}-\frac{1}{8x^4}+\cdots\right) =4\cdot\frac{2}{3}\frac{\pi m^4c^5}{h^3} x^4 =4P$$

$$\Longrightarrow \quad u=3P$$

となるので

$$P \to \frac{1}{3}u$$ (49)

であることが分かる。