1 統計的重率

全エネルギー $E$ 、全粒子数 $N$ を、

$$E = \sum_j \vepsilon_j N_j ,\quad N = \sum_j N_j$$

と書き、この弐条件の許でエントロピー

$$S = k_{\rm B}\log W$$

を最大にすることを考える。 ここで $W$ は統計的重率で、

$$W = \prod_j p_j$$

であり、ボルツマンの原理が成りたっているものとする。 統計的重率はボーズ粒子の場合同じ状態にいくらでも入ることができるので、

$$W_{\rm b} = \prod_j p_j = \prod_j \frac{ ( C_j +N_j -1 )!}{N_j ! ( C_j -1 )!}$$ (1)

であり、フェルミ粒子の場合は排他律より、

$$W_{\rm f} = \prod p_j = \prod_j \frac{C_j!}{N_j ! ( C_j -N_j )!}$$ (2)

である。