1 シンプソン則

一般に補間関数の近似の精度を上げれば、数値積分の精度が高くなることが予想される。 そこで二次関数で近似することを考える。

図 2: 二次曲線での補完

二次関数で補間するには三点の場合を考えてからそれを一般化すればいいので、 三点 $x_1,x_2,x_3$ を等間隔として、その点における関数値 $f_1,f_2,f_3$ とする。 これを

$$f(x)= a\left(x-x_2\right)^2 + b(x-x_2)+ c$$

で補完することを考える。 $h=x_3-x_2=x_2-x_1$ とおくと、すぐに

$$f_1 = ah^2 - bh+c ,\quad f_2 = c ,\quad f_3 = ah^2 + bh+c ,\quad$$

が成り立つことが分かるので、これを解いて

$$a = \frac{f_1+f_3 -2 f_2}{2 h^2},\quad b = \frac{f_3-f_1}{2h} ,\quad c = f_2$$

を得る。以上より被積分関数を $g(x)$ とすると積分値は

$$\int_{x_1}^{x_3} g(x) dx \cong \int_{x_1}^{x_3} f(x)dx = \frac{h}{3} \left[ f_1 + 4 f_2 + f_3\right]$$

と近似することができる。

参点を一般化する場合には積分の近似値を $S_N$ とおいて、

$$S_N = \frac{h}{3} \sum_{j=0}^{N-1} \left[ f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j+1... ...t[ f(a)+f(b) + 4\sum_{j=1}^N f(x_{2j-1}) + 2\sum_{j=1}^{N-1} f(x_{2j}) \right]$$

vとすることで、計算することができる。