2 時間微分

$$\del{f(t')}{t'} \equiv \dot{f}(t'),\quad \del{{\bf f}(t')}{t'} \equiv \dot{{\bf f}}(t')$$ (7)

$$\dot{{\bf R}}(t') = -\dot{\vr}_0(t') =-c \bm{\beta}(t')$$ (8)

$$R^2(t')= {\bf R}(t')\cdot {\bf R}(t') \quad \longrightarrow \quad... ...R(t')= 2\dot{{\bf R}}(t')\cdot {\bf R}(t')= -2c \bm{\beta}(t')\cdot {\bf R}(t')$$

$$\hspace{32mm} \therefore \, \dot{R}(t')= -c \vn(t')\cdot \bm{\beta}(t')$$ (9)

$$\dot{\vn}(t')= \deL{t'}\left(\frac{{\bf R}(t')}{R(t')}\right)=\fr... ...c\frac{\left( \vn(t')\cdot \bm{\beta}(t')\right)\vn(t')- \bm{\beta}(t')}{R(t')}$$ (10)

$$\dot{\kappa}(t')= \deL{t'}\left(1-\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t'... ...t\bm{\beta}(t')\right)^2}{R(t')} -\left(\vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)$$ (11)

図 2: 静止した観測者の時間微分

$\partial/\partial t$とは観測者の座標$\vr$を固定して、 観測者の時間$t$のみを変化させたときの物理量の変化を計算させる演算である。 観測者の時刻$t$と遅延時間$t'$との関係はEq.(4)で与えられる。

$t$での微分と$t'$での微分の関係を得るために次のような時空図を考える。 簡単の為に系は空間一次元としている。 観測者は座標$x$の位置に静止している。

時刻$t$の観測者の事象Aと微小時間$dt$後の観測者の事象Bとで、 それぞれ観測した電磁ポテンシャルの差分をとり、 $dt$で割るのが、$t$による偏微分である。 事象A,Bで観測される電磁ポテンシャルは因果律より、 事象A',B'に居た荷電粒子によって生成されたものである。 事象AとA'の時刻の関係は、

$$t' = t - \frac{\left\vert x-x_0(t')\right\vert}{c}$$

で与えられる。 同様に事象BとB'の時刻の関係は、

$$t'+dt' = t+dt -\frac{\left\vert x-x_0(t'+dt')\right\vert}{c}$$

である。この二つの事象間での観測者-粒子間の距離の変化量は、

$$\left\vert x-x_0(t'+dt')\right\vert -\left\vert x-x_0(t')\right\v... ...{\vr}_0(t')\cdot \vn(t')(t')dt' =-c \left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)dt'$$

で与えられるので、以上より$dt$と$dt'$の関係は、

$$dt = \left[ 1-\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)\right] dt'= \kappa(t')dt'$$ (12)

であることが分かる。 従って偏微分の変換式として、以下の関係式を得る。

$$\deL{t}=\frac{1}{\kappa(t')}\deL{t'}$$ (13)

$$\deL{t}\left(\kappa(t')R(t')\right) =\frac{1}{\kappa(t')}\deL{t'}\left[ \kappa(t')R(t')\right] =\frac... ...vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)-c\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)$$

$$=-\frac{c}{\kappa(t')}\left(\vn(t')\cdot\bm{\beta}(t')\right)+\fr... ...ppa(t')} -\frac{R(t')}{\kappa(t')}\left(\vn(t')\cdot\dot{\bm{\beta}}(t')\right)$$ (14)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp