2 Minkowski 空間

四次元時空の近接した二つの事象間の距離が、 二つの慣性座標系 $O$ と $\overline{O}$ に於いて

$$ds^2 =dx^\alpha dx_\alpha = \eta_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^{\beta} = \bar{\eta}_{\alpha\beta} d\bar{x}^\alpha d\bar{x}^\beta$$ (1)

で与えられたとする。 ここで、 平坦な空間について、 計量テンソル $\eta_{\alpha \beta}$ と $\bar{\eta}_{\alpha \beta}$ は、 座標 $x^i$ や $\bar{x}^i$ をデカルト座標にとるとき

$$\eta_{\alpha \beta }= \bar{\eta}_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0& 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (2)

で与えられるものとし（Minkowski 空間）、 また同じ添え字が上下対に現れた場合は、 ギリシャ文字は 0 から 3 まで、 アルファベットに関しては 1 から 3 までの和をとる（縮約）ものとする（縮約を行わない場合でもこの規則に従うものとする）。

光子の弐点間の伝播

$$P = \left(x_P^0,x_P^1,x_P^2,x_P^3 \right) =\left( \bar{x}_P^0, \b... ..._Q^3 \right) =\left( \bar{x}_Q^0, \bar{x}_Q^1, \bar{x}_Q^2 ,\bar{x}_Q^3\right)$$

を考えれば、 光の速度は両慣性座標系で同じであるから

$$\eta_{\alpha \beta} \left(x_Q^\alpha -x_P^\alpha\right) \left(x_Q... ...lpha -\bar{x}_P^\alpha\right) \left(\bar{x}_Q^\beta -\bar{x}_P^\beta\right) =0$$

なる関係が成立している。 これは光の運動に関しては--光の運動だけが-- $ds^2=0$ が成り立つことを示している。