1 粒子の速度の時間変化

運動方程式を各成分について書き下すと

$$m \di{v_x}{t} = -\gamma v_x + q \left[E_x +\frac{1}{c} \left(v_y B_z -v_z B_y\r... ...left(\omega t-kz\right) -\frac{v_z}{c} E_0 \cos\left(\omega t-kz\right) \right]$$

$$= -\gamma v_x + q E_0 \cos\left(\omega t-kz\right) \left(1-\frac{v_z}{c}\right)$$ (5)

$$m \di{v_y}{t} = -\gamma v_y + q \left[E_y +\frac{1}{c} \left(v_z B_x -v_x B_z\r... ...left(\omega t-kz\right) +\frac{v_z}{c} E_0 \sin\left(\omega t-kz\right) \right]$$

$$= -\gamma v_y + q E_0 \sin\left(\omega t-kz\right) \left(-1+\frac{v_z}{c}\right)$$ (6)

$$m \di{v_z}{t} = -\gamma v_z + q \left[E_z +\frac{1}{c} \left(v_x B_y -v_y B_x\r... ...cos\left(\omega t-kz\right) -\frac{v_y}{c} \sin\left(\omega t-kz\right) \right]$$ (7)

となる。抵抗力が Lorent力に比べて十分大きいため、抵抗力とLorentz力の釣り合いで定常運動が実現されており、 $v/c \ll 1$であるから運動方程式(5),(6),(7)は次のように書き換えられる。

$$\begin{cases}\gamma v_x = qE_0 \cos\left(\omega t-kz\right) \... ...qE_0 \sin\left(\omega t-kz\right) \ \gamma v_z =0 \end{cases}$$ (8)

以上より、速度の時間変化は

$$\begin{cases}& v_x(t) = \dfrac{qE_0}{\gamma} \cos\left(\omega... ...gamma} \sin\left(\omega t-kz\right) \ & v_z(t) =0 \end{cases}$$ (9)

となる。