6 粒子の運動を記述する微分方程式

先ほどプロットしたポテンシャル中のテスト粒子の運動を表す運動方程式(2)は、 運動が x-y 平面内に限られるとすれば、 成分で書いて

$$\dii{x}{t} = -\del{\Phi_{R}}{x} +2\Omega \di{y}{t},\qquad \dii{y}{t} = -\del{\Phi_{R}}{y} -2\Omega \di{x}{t}$$ (10)

と書ける。 前と同様に

$$\frac{x}{a} \, \longrightarrow \, x,\qquad \frac{y}{a} \, \longri... ...ngrightarrow \, z ,\qquad \Psi \equiv - \frac{a \Phi_R}{G \left(M_1+M_2\right)}$$

と置き換え--長さを軌道半径を単位として測り、エネルギーを $GM/a$ を単位として測る--、 更に

$$\Omega t \longrightarrow t$$ (11)

と置き換えれば--時間を $1/\Omega$ を単位として測る--、

$$\left(\frac{d}{d(t'/\Omega)}\right)^2 (ax') = -\deL{(ax')}\left(-\frac{GM}{a} \Psi\right) + 2\Omega \frac{d}{... ...ega)} (ay') \quad \Longrightarrow \quad \dii{x}{t} = \del{\Psi}{x} +2 \di{y}{t}$$ (12)

$$\left(\frac{d}{d(t'/\Omega)}\right)^2 (ay') = -\deL{(ay')}\left(-\frac{GM}{a} \Psi\right) - 2\Omega \frac{d}{... ...ega)} (ax') \quad \Longrightarrow \quad \dii{y}{t} = \del{\Psi}{y} -2 \di{x}{t}$$ (13)

と書けることが分かる。

更に

$$z_1=x,\quad z_2= \di{x}{t} ,\quad z_3 =y ,\quad z_4=\di{y}{t}$$ (14)

とすれば、(12),(13)は

$$\dI{t} \begin{pmatrix}z_1 \ z_2 \ z_3 \ z_4 \end{pmatrix} =... ...z_1} + 2z_4 \ z_4 \ \dfrac{\partial \Psi}{\partial z_3} -2z_2 \end{pmatrix}$$ (15)

と行列表示で書くことができる。