A. 複素積分

積分

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}dx$$

を求める。

図 13: 積分経路

図の様な二つの半円と線分からなるジョルダン曲線を考える。 今 $f(z)=e^{iz} /z$とおくと、

$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z}= \frac{1+z + \frac{z^2}{2!} +o(z^2) }{z}$$

よりこの曲線の内部で$f(z)$は正則である。 よってコーシー・グルサの定理より

$$\left(\int_{+r}^{+R}+ \int_{C_R} +\int_{-R}^{-r} +\int_{C_r} \rig... ...ht) \frac{e^{iz}}{z} dz =-\left(\int_{C_R}+\int_{C_r}\right)\frac{e^{iz}}{z} dz$$ (18)

が成り立つ。ここで

$$\int_{-R}^{-r} \frac{e^{iz}}{z} dz = \int_{+R}^{+r}\frac{e^{i(-w)... ...d(-w) =-\int_{+r}^{+R}\frac{e^{-iw}}{w}dw =-\int_{+r}^{+R}\frac{e^{-iz}}{z} dz$$

であるから、Eq.(18)の左辺は

$$(左辺)=\int_{+r}^{+R} \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{z} dz =2i \int_{+r}^{+R} \frac{\sin{z}}{z} dz$$ (19)

となる。 また経路$C_R$について

$$\left\vert \int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z} dz\right\vert = \left\vert \int_{0}^{\pi} \frac{e^{ iR(\cos{\theta} +i \sin{\th... ... d\theta \leq 2 \int_{0}^{\pi/2} e^{-R\left(2/\pi\right) \theta} d\theta \notag$$

$$=\frac{\pi}{R} \left(1-e^{-R}\right) < \frac{\pi}{R} \xrightarrow{R \to +\infty} 0$$ (20)

となり、経路$C_r$に於いては

$$\int_{C_r} \frac{e^{iz}}{z} dz = \int_{\pi}^{0} \frac{ e^{i r( \cos{\theta} + i \sin{\theta})} }... ...d\theta \quad \xrightarrow{r \to 0}\quad -i \int_{0}^{\pi} e^0 d\theta = -\pi i$$ (21)

であることが分かる。

図: $\sin \theta \geq {2\theta}/{\pi} \quad(0\leq \theta \leq \pi/2)$

以上より、

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x} dx =\frac{\pi}{2}$$

であり、$\sin{x}/x$は偶関数であるから、求めるべき積分は

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}dx =\pi$$ (22)

である。