7 相対論的な理想気体

相対論的な理想気体については

$$\epsilon =\sqrt{\left(mc^2\right)^2+(pc)^2} ,\qquad v_p=\del{\epsilon}{p} =\frac{p/m}{\sqrt{1+(p/mc)^2}}$$ (32)

などとする必要がある。 このとき、気体の圧力や単位体積当たりのエネルギーは、(3)や(4)から

$$P(\alpha ,T)=\frac{1}{3}\int_0^\infty \frac{p^2/m}{\sqrt{1+(p/mc)^2}} \,\bar{n}_F(\epsilon ) \,g \,\frac{4pi p^2}{h^3} \,dp$$ (33)

$$u(\alpha ,T)=\int_0^\infty K \bar{n}_F(\epsilon ) \,g\, \frac{4\pi p^2}{h^3}\,dp$$ (34)

で与えられることが分かる。ここで $m$ は静止質量であり、

$$K=\epsilon -mc^2 =mc^2\sqrt{1+(p/mc)^2} -mc^2 = mc^2 \left[1-\left(\frac{v_p}{c}\right)^2\right]^{-1/2} -mc^2$$ (35)

は粒子の静止エネルギーを除いた運動エネルギーである。 化学ポテンシャル $\alpha$ は非相対論的な場合と同様にして、 (2)から

$$n_0\left(\alpha,T\right)=\int_0^\infty \bar{n}_F(\epsilon )\,g\,\frac{4\pi p^2}{h^3}\,dp$$ (36)

を用いて、 $n_0$ と $T$ の関数として与えられる。