1 非縮退の極限の場合

$\alpha \gg 1$ であるような非縮退の極限では $\exp(\alpha+\beta \epsilon ) \gg 1$ として

$$n_0\left(\alpha,T\right)=\frac{4\pi g}{h^3}e^{-\alpha} \int_{0}^\infty e^{-\beta \epsilon } p^2 \,dp$$ (37)

$$P\left(\alpha,T\right)=\frac{4\pi g}{3mh^3} e^{-\alpha}\int_0^\infty \frac{p^4e^{-\beta \epsilon }}{\sqrt{1+(p/mc)^2}}\,dp$$ (38)

$$u\left(\alpha,T\right)=\frac{4\pi g mc^2}{h^3} e^{-\alpha}\int_0^\infty \left(\sqrt{1+(p/mc)^2} -1\right)e^{-\beta \epsilon } p^2 \,dp$$ (39)

などと書くことができる。

また、 $P$ は

$$P =P\left(\alpha,T\right)=\frac{4\pi g}{3mh^3} e^{-\alpha}\int_0^\i... ...\pi g }{3h^3 \beta}e^{-\alpha}\int_{0}^\infty p^3\dI{p}e^{-\beta \epsilon }\,dp$$

$$\qquad \because \, \left[\dI{p}e^{-\beta \epsilon }=-\beta e^{-\b... ...2\right]^{1/2}=-\frac{\beta e^{-\beta \epsilon } p}{m\sqrt{1+(p/mc)^2}} \right]$$

$$=-\frac{4\pi g}{3h^3 \beta}e^{-\alpha}\left(\left[e^{-\beta \epsi... ...ac{4\pi g}{h^3} e^{-\alpha} \int_0^\infty e^{-\beta \epsilon } p^2 \,dp =n_0 kT$$

より

$$P=n_0 kT$$ (40)

が成り立つことが分かる。