3 Maxwell 分布[非相対論的な場合]

温度 $T$ の非相対論的な気体を考え、その気体粒子の運動量分布が Maxwell 分布

$$n(p)=n_0 \frac{4\pi p^2}{(2\pi mkT)^{3/2}} \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right)$$ (5)

で与えらるとする。ここで $n_0$ は気体の粒子数密度であり、 $m$ は気体粒子の質量、 $k$ は Boltzmann 定数である。 このとき、積分 $\int_0^\infty dp \,n(p)$ を計算すると

$$\int_0^\infty dp \,n(p) = \int_0^\infty n_0 \frac{4\pi p^2}{(2\pi mkT)^{3/2}} \exp\left(-... ...\pi }{(2\pi mkT)^{3/2}} \int_0^\infty p^2 \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right) dp$$

$$=n_0 \frac{4\pi }{(2\pi mkT)^{3/2}} \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\left(\dfrac{1}{2mkT}\right)^3}} = n_0$$

となるので、

$$n_0 = \int_0^\infty dp \, n(p)$$ (6)

であることが分かる。ここでガウス積分の公式

$$\int_0^\infty x^{2n} \exp\left(-\lambda x^2\right) dx =\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda^{2n+1}}} ,\qquad n=0,1,2,\dots$$

を用いている（以後もこの式は使用する）。

また、圧力を(3)に従って計算すると

$$P = P\left(\mu,T\right)= \frac{1}{3}\int_0^\infty dp \, pv_p n(p) =... ...pi}{3m (2\pi mkT)^{3/2}}\int_0^\infty p^4 \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right) dp$$

$$= n_0 \frac{4\pi}{3m (2\pi mkT)^{3/2}} \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{\left(\dfrac{1}{2mkT}\right)^5}} = n_0 \frac{1}{2m} 2m kT =n_0 kT$$

であるから

$$P=n_0 kT$$ (7)

が得られる。同様に内部エネルギーを (4) に従って計算すると

$$u =u\left(\mu,T\right) = \int_0^\infty dp \, Kn(p) =u\left(\mu,T\ri... ...fty n_0 \frac{4\pi p^4}{(2\pi mkT)^{3/2}} \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right) dp$$

$$=n_0 \frac{2\pi}{m(2\pi mkT)^{3/2}} \int_0^\infty p^4\exp\left(-\... ...{1}{2mkT}\right)^5}} = n_0 \frac{3}{4} (2mkT)= \frac{3}{2}n_0 kT = \frac{3}{2}P$$

であるから

$$u= \frac{3}{2}n_0 kT = \frac{3}{2}P$$ (8)

となることが分かる。 この式は、粒子一個当たりのエネルギーが $3kT/2$ であることを示している。