6 非相対論的な理想気体

非相対論的な理想電子気体を考えるとき、$g=2$（スピン 1/2） である。 このとき $n_0\left(\alpha',T\right)$ は

$$n_0\left(\alpha',T\right) = \int_0^\infty n(p) \,dp =\int_0^\infty \bar{n}_F\left(\epsilon'... ...pi}{h^3}\int_0^\infty\frac{p^2}{\exp\left(\alpha'+\beta \epsilon'\right)+1}\,dp$$

$$非相対論の極限で \, \epsilon'=p^2/2m\rightarrow p^2=2m\epsilon',p... ...epsilon'、また \, \beta \epsilon' = w \rightarrow d\epsilon'=\frac{1}{\beta }dw$$

$$=\frac{8\pi}{h^3}\frac{1}{\beta }\int_0^\infty\frac{(2m\epsilon')... ...}{h^3}(2mkT)^{3/2}\int_0^\infty\frac{w^{1/2}}{\exp\left(\alpha'+w\right)+1}\,dw$$

$$=\frac{4\pi}{h^3} (2mkT)^{3/2}F_{1/2}(\alpha')$$

であるから

$$n_0\left(\alpha',T\right)=\frac{4\pi}{h^3} (2mkT)^{3/2}F_{1/2}(\alpha')$$ (19)

となる。ここで

$$F_\beta(\alpha')=\int_0^\infty\frac{w^{\beta }}{\exp\left(\alpha'+w\right)+1}\,dw$$ (20)

である。同様に $P(\alpha',T)$ も計算すると

$$P(\alpha',T) =\frac{1}{3}\int_0^\infty dp\,p v_p \,n(p) \, ,\qquad 非相対論の場合\, v_p=\frac{p}{m}$$

$$=\frac{1}{3}\int_0^\infty p\frac{p}{m}\bar{n}_F(\alpha') \,g\,\fr... ...ac{4\pi}{3mh^3}\int_0^\infty\frac{g}{\exp(\alpha'+\beta \epsilon') +1} p^4 \,dp$$ (21)

$$=\frac{8\pi}{3mh^3}\int_0^\infty \frac{(2mkT)^{3/2}}{\exp(\alpha'... ...ac{8\pi kT}{3h^3}(2mkT)^{3/2}\int_0^\infty \frac{w^{3/2}}{\exp(\alpha'+w)+1} dw$$

$$=\frac{8\pi kT}{3h^3}(2mkT)^{3/2}F_{3/2}(\alpha') =\frac{4\pi}{h^... ...alpha',T)\,kT \left[\frac{2}{3}\frac{F_{3/2}(\alpha')}{F_{1/2}(\alpha')}\right]$$

であるから

$$P(\alpha',T) = \frac{8\pi kT}{3h^3}(2mkT)^{3/2}F_{3/2}(\alpha') =... ...alpha',T)\,kT \left[\frac{2}{3}\frac{F_{3/2}(\alpha')}{F_{1/2}(\alpha')}\right]$$ (22)

となることが示せた。また、気体単位体積の内部エネルギー（粒子の運動エネルギーの積分） $u(\alpha',T)$ を計算すると

$$u =u(\alpha',T) =\int_0^\infty dp\,K \,n(p) =\int_0^\infty dp\, \fr... ...{4\pi}{3mh^3} \int_0^\infty \frac{g}{\exp(\alpha'+\beta \epsilon')+1}\,p^4 \,dp$$

$$= \frac{3}{2}P \qquad \because \, (\ref{star})$$

より

$$u = \frac{3}{2}P$$ (23)

で与えられることが分かる。