1 Newton 法:壱変数の場合

超越方程式は解析的に解くことのできない方程式のことを指す。 Newton 法は超越方程式の根を数値的に求める方法の一つである。 例えば方程式 $ g(x)=0$ について、 $ x=x^0$ の近傍にある根 $ \bar{x}$ を求めることを考える。 $ x^0$ が方程式の根 $ \bar{x}$ の十分近傍にあるとすれば、近似的に

$\displaystyle 0=g(\bar{x}) =g\left( x^0 + \bar{x} -x^0\right) \cong g(x^0) +\frac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^0}(\bar{x}-x^0)
$

とすることができる。Newton 法では、この $ x=x^0$ の近傍にある根 $ \bar{x}$ を、

$\displaystyle x^1 \equiv x^0 -\frac{g(x^0)}{\dfrac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^0}}
$

として近似的に求める。しかしながら、 このようにして求められた $ \bar{x} = x^1$ は十分な精度で $ g(\bar{x}) = 0$ を満たすとは限らないので、 上の $ x^0$$ x^1$ で置き換えて同じ手続きを繰り返すことを考える。 すなわち、この手続き

$\displaystyle x^{i+1} \equiv x^i -\frac{g(x^i)}{\dfrac{dg(x)}{dx}\bigg\vert _{x=x^i}}
$

を何度か繰り返して、 ある十分に小さな数 $ \epsilon$ について

$\displaystyle \left\vert g\left(x^{i+1}\right)\right\vert< \epsilon
$

を満たす $ x^{i+1}$ をもとめ、 それを求める根 $ \bar{x}$ であると考える。 もし上のように関数 $ g(x)$ に壱のオーダーの定数が含まれているときは、 例えば $ \epsilon \sim 10^{-6}$ 程度の小さな数で十分精度よく根が求められることが多い。 一般に、このようにして根が上手く求められるか否かは、上手く推定値 $ x^0$ を選べるか否かにかかっている。

fat-cat 平成16年11月27日