2 Newton 法:弐変数の場合

二変数 $ x,y$ についての連立方程式

$\displaystyle f(x,y)=0 ,\qquad g(x,y)=0
$

の根を求めることを考える。 壱変数の場合と同じように考えると

$\displaystyle f(x_0 +\delta x,y_0+\delta y) \cong$ $\displaystyle f(x_0,y_0) +\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}\delta x +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\bigg\vert _{0}\delta y=0$    
$\displaystyle g(x_0 +\delta x,y_0+\delta y) \cong$ $\displaystyle g(x_0,y_0) +\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}\delta x +\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\bigg\vert _{0}\delta y=0$    

として

$\displaystyle \begin{pmatrix}{f_x}_0 & {f_y}_0 \\
{g_x}_0 & {g_y}_0 \end{pmat...
...elta x \\
\delta y \end{pmatrix}= - \begin{pmatrix}f_0 \\
g_0 \end{pmatrix}$

が得られる。ここで

$\displaystyle {f_x}_0 =\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{0}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg\vert _{x=x_0,y=y_0}
$

などである。これから逆行列を使って

$\displaystyle \begin{pmatrix}\delta x\\
\delta y \end{pmatrix}=-\begin{pmatri...
...
{g_x}_0 & {g_y}_0 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}f_0 \\
g_0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \Longrightarrow\quad
\delta x = \frac{ {g_y}_0 f_0 -{f_y}_0 g_0 }...
...lta y = \frac{ -{g_x}_0 f_0 +{f_x}_0 g_0 }{ {f_y}_0 {g_x}_0 -{f_x}_0 {g_y}_0 }
$

であるから、これらを使って

$\displaystyle x_0 +\delta x \to x_0 \qquad y_0 +\delta y \to y_0
$

として、上の手順を繰り返し、適当に小さな数 $ \epsilon_1$ $ \epsilon_2$ について

$\displaystyle \left\vert f(x_0,y_0) \right\vert < \epsilon_1 \quad \left\vert g(x_0,y_0) \right\vert < \epsilon_2
$

または

$\displaystyle \left\vert f(x_0,y_0) \right\vert^2+ \left\vert g(x_0,y_0) \right\vert^2 < \epsilon
$

が成立するような $ (x_0,y_0)$ が求められれば、 それを根(の一つ)であると考える。

fat-cat 平成16年11月27日