4 Wien Displacement Law の導出

Eq.(1) で強度が最大になるときの周波数 $\nu_{\rm peak}$ を考えると、

$$\del{B_\nu}{\nu}\bigg\vert _{\nu=\nu_{\rm peak}} =0$$

が成り立つ。 今、 $x=(h\nu)/(kT)$ とおいて

$$B_\nu(T) \propto \frac{x^3}{e^x -1} = f(x)$$

として、 $f(x)$ が最大となる $x$ の値を求めることを考える。

$$f'(x)= \frac{3x^2}{e^x-1}-\frac{x^3 e^x}{(e^x-1)^2},\quad \hbox{従って、} \quad g(x)=3(e^x -1) -xe^x$$

などとして、 関数 $g(x)$ の零点 $g(x)=0$ を数値的に求めると、

$$x = 2.82143\cdots$$

となるので、 $\nu_{\rm peak}$ は

$$h \nu_{\rm peak} = 2.82 kT \quad\hbox{or}\quad \nu_{\rm peak} = 5.88 \times 10^{10} T \quad{\rm Hz}$$ (3)

となる。 同様に、

$$\del{B_\lambda}{\lambda}\bigg\vert _{\lambda=\lambda_{\rm peak}} = 0$$

を考えると $y= (hc)/({\lambda kT})$ とおいて、

$$B_\lambda(T) \propto \frac{y^5}{e^y-1} = F(y)$$

として、 $F(y)$ が最大となる $y$ の値を求める。

$$F'(y)= \frac{5y^4}{e^y-1} -\frac{y^5 e^y}{\left(e^y-1\right)^2},\quad \hbox{従って、} \quad G(y)=5(e^y -1) -ye^y$$

より、 $G(y)=0$ を数値的に解くと、

$$y= 4.96511\cdots$$

であるから、

$$\lambda_{\rm peak} = \frac{0.290}{T}\quad{\rm cm}$$ (4)

となる。 Eq.(3),Eq.(4) を Wien Displacement Law という。