5 Stefan-Boltzmann expression

Eq.(1) を積分すると、

$${\cal U}(T) = \int B_\nu(T)\, d\nu d\Omega = \frac{2h}{c^3} \int \frac{\nu^3}... ...\right)^3 \, d\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}{\exp\left[\frac{h\nu}{kT}\right]-1}$$

$$=\frac{8\pi k^4}{h^3 c^3} T^4 \int_0^\infty dx\, \frac{x^3}{e^x-1... ... c^2} T^4,\qquad \because\, \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx =\frac{\pi^4}{15}$$

となるので、

$${\cal U}(T)=\sigma T^4\quad\left[{\rm W\cdot m^{-2}}\right]$$ (5)

を得る。ここで

$$\sigma=\frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}=5.670400(40)\times 10^{-8}\,\left[{\rm W\cdot m^{-2}\cdot T^{-4}}\right]$$   ：Stefan-Boltzmann 定数$$$$

である。