2 行列要素

次に行列要素 ${\cal M}_{fi}$ を求める。今の場合 ${\cal H}_{\rm int}$ は原子核のクーロンポテンシャルだけであるから、

$${\cal H}_{\rm int} = e\phi(r) = \frac{Ze^2}{4\pi \vepsilon_0} \frac{1}{r}, \qquad \because\,\phi(r) = \frac{Ze}{4\pi \vepsilon_0}\frac{1}{r}$$

となるが、この場合、積分 $\bracketii{\psi_f}{{\cal H}_{\rm int}}{\psi_i}$ は発散してしまう。 そこで、原子核の周りの電子雲による遮断の効果を考え、遮断長 $\lambda$ を用いて、 $\exp(-r/\lambda)$ なる因子をポテンシャルに掛けて、

$${\cal H}_{\rm int} = \frac{Ze^2}{4\pi \vepsilon_0} \frac{1}{r} \exp\left(-\frac{r}{\lambda}\right)$$

とする。これにより積分は発散しないことになる。

以上を踏まえて積分を計算すると、 ${\bf q}= \vp -\vp'$ として

$$\bracketii{\psi_f}{{\cal H}_{\rm int}}{\psi_i} =\int \psi_f^* {\cal H}_{\rm int} \psi_i\,dV$$

$$=\frac{Ze^2}{4\pi \vepsilon_0 V} \int \frac{\exp\left(-\dfrac{r}{... ...left(i\, \frac{ q r \cos\theta}{\hbar}\right)\,r^2\sin\theta \,d\theta d\phi dr$$

$$=\frac{Ze^2}{4\pi \vepsilon_0 V} \cdot 2\pi \int_0^\infty dr\int_... ...}\right)\,\exp\left(i\, \frac{qr\cos\theta}{\hbar}\right)\,\sin\theta \,d\theta$$

$$= \frac{Ze^2}{2 \vepsilon_0 V} \int_0^\infty dr \, \exp\left(-\fr... ...ght) \cdot \left[ \exp\left(i\, \frac{qr\cos\theta}{\hbar}\right) \right]_0^\pi$$

$$=\frac{Ze^2}{2 \vepsilon_0 V}\left(\frac{-\hbar}{iq}\right) \int_... ...\left(-i\,\frac{qr}{\hbar}\right) -\exp\left(i\,\frac{qr}{\hbar}\right) \right]$$

$$=\frac{Ze^2}{2 \vepsilon_0 V}\left(\frac{-\hbar}{iq}\right) \int_... ...exp\left\{ -\left(\frac{1}{\lambda}-i \,\frac{q}{\hbar}\right)r\right\} \right]$$

$$=\frac{Ze^2}{2 \vepsilon_0 V}\left(\frac{-\hbar}{iq}\right) \left... ...ar}{iq} \frac{i\, \dfrac{2q}{\hbar}}{\dfrac{1}{\lambda^2}+\dfrac{q^2}{\hbar^2}}$$

$$= \frac{Ze^2}{\vepsilon_0 V} \frac{1}{\dfrac{1}{\lambda^2} +\dfra... ...frac{Ze^2\hbar^2}{\vepsilon_0 V q^2} \frac{1}{1+\dfrac{\hbar^2}{\lambda^2 q^2}}$$

を得る。

運動量の変化の絶対値 $q$ は波数の変化の絶対値 $s$を用いて $q= \hbar s$ と書ける。 今原子核と粒子の衝突を考えており、 また波数の逆数は長さの次元を持つことから、

$$(\hbox{原子核の大きさ})\sim \frac{1}{s} =\frac{\hbar}{q}$$

であることが分かる。 一方遮断は原子核のまわりの電子による効果であるから、遮断長 $\lambda$ は原子の大きさ程度であると考えられる。 原子の大きさは原子核の大きさに比べて $10^5$ 倍程度も大きいので、

$$\lambda \gg \frac{\hbar}{q}\quad \Longrightarrow \quad \frac{\lambda^2 q^2}{\hbar^2} \gg 1$$

となる。よって最終的に行列要素 ${\cal M}_{fi}$ は、

$${\cal M}_{fi} = \frac{Ze^2\hbar^2}{\vepsilon_0 V q^2}$$ (7)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp