4 数密度(励起状態も考慮した場合)

今まで電離原子として基底状態にある場合を考えていたが、 電離原子の励起状態も考慮する必要がある。 改めて $r$ 階電離原子の $k$ 番目の励起状態を $g_{r,k}$ 、$N_{r,k}$ などと表すと、 基底状態について(8) は、

$$\frac{N_{r+1,0}}{N_{r,0}} \, N_e =\frac{g_{r+1,0}}{g_{r,0}}\, f_r(T)$$ (9)

と表すことになる。 $r$ 階電離原子の $k$ 番目の励起状態のエネルギーを基底状態から測って $E_{r,k}$ と書けば（従って、$E_{r,0}=0$） 、 励起状態 $k$ にある原子の数は

$$N_{r,k} = \frac{N_r}{U_r} \,g_{r,k} \,e^{-\beta E_{r,k}}\, , \qquad U_r=\sum_{k=0}^\infty g_{r,k} \,e^{-\beta E_{r,k}}$$ (10)

で与えられ、 分配関数 $U_r$ の定義から

$$N_r = \sum_{k=0}^\infty N_{r,k}$$ (11)

となる。