1 Maxwell分布

粒子 X と粒子 a かららる温度 $ T$ の混合気体を考え、 それぞれの粒子数密度を $ N_{\rm X}$$ N_{\rm a} $と書く。それぞれ温度 $ T$ で熱平衡にあるとすれば、 気体粒子の速度分布は

$\displaystyle N_{\rm a}\left(\vec{v}_{\rm a}\right) d v_{{\rm a}x}v_{{\rm a}y}v_{{\rm a}z}$ $\displaystyle = N_{\rm a} \left(\frac{m_{\rm a}}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left...
...{\rm a}\vec{v}_{\rm a}^2}{2k T}\right)  d v_{{\rm a}x}v_{{\rm a}y}v_{{\rm a}z}$ (92)
$\displaystyle N_{\rm X}\left(\vec{v}_{\rm X}\right) d v_{{\rm X}x}v_{{\rm X}y}v_{{\rm X}z}$ $\displaystyle = N_{\rm X} \left(\frac{m_{\rm X}}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left...
...{\rm X}\vec{v}_{\rm X}^2}{2k T}\right)  d v_{{\rm X}x}v_{{\rm X}y}v_{{\rm X}z}$ (93)

なる Maxwell 分布で与えられる。これを使って

$\displaystyle r_{\rm aX} = \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\inft...
...) N_{\rm X}\left(\vec{v}_{\rm X}\right)   d^3\vec{v}_{\rm a}d^3\vec{v}_{\rm X}$ (94)

と書く。 ここで $ v=\vert\vec{v}\vert$ であり、 $ \vec{v}=\vec{v}_{\rm a}-\vec{v}_{\rm X}$ である。 また以下では $ \sigma_{\rm aX}\left(\vec{v}\right)=\sigma_{\rm aX}(\vert\vec{v}\vert)$ とする。

二粒子の重心の速度 $ \vec{V} $ $ \vec{V}=\left(m_{\rm a}\vec{v}_{\rm a} +m_{\rm X}\vec{v}_{\rm X} \right)/\left(m_{\rm a}m_{\rm X}\right)$ と定義する。 $ \left(\vec{v}_{\rm a},\vec{v}_{\rm X}\right)\to\left(\vec{V},\vec{v}\right)$ と積分変数変換を行うと、(94)は

$\displaystyle r_{\rm aX}$ $\displaystyle = \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} v\sigma_...
...ight)}{\partial \left(\vec{V},\vec{v}\right)}\right\vert  d^3\vec{v}d^3\vec{V}$    
  $\displaystyle =N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^...
...a}+m_{\rm X}\right)\vec{V}^2+\mu\vec{v}^2}{2kT}\right\}   d^3\vec{v}d^3\vec{V}$    
  $\displaystyle =N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{0}^{+\infty}4\pi v^2\cdot v\sigma_{\rm ...
...kT}{m_{\rm a}+m_{\rm X}}}   \exp\left(-\frac{\mu\vec{v}^2}{2kT}\right)   d{v}$    
  $\displaystyle =N_{\rm a}N_{\rm X} \int_{0}^{+\infty}v\sigma_{\rm aX}\left(\vec{...
...T}\right)^{3/2}  \exp\left(-\frac{\mu\vec{v}^2}{2kT}\right)   4\pi v^2  d{v}$ (95)

と書けることが分かる。 これから、(9)の $ \phi(v)$

$\displaystyle \phi(v) = 4\pi v^2 \left(\frac{\mu}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\mu \vec{v}^2}{2kT}\right)$ (96)

で求められることが分かる。 これは相対速度に対する Maxwell 分布になっている。

fat-cat 平成17年1月10日