2 事象間隔、事象距離の変換

座標変換は、 変換行列の行列因子、つまりヤコビアン $J$ を用いて

$$d^4 \bar{\vx} = \del{\left(\bar{\vx}\right)}{\left(\vx\right)} ... ...= \det \left( \Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}}(\vv)\right) d^4\vx = J d^4\vx$$

と書くことができる。 式(4)から式(6) で与えられるローレンツ変換に対しては、 座標間の相対速度 ${\bf v}$ だけに依存し、 座標系の回転などを考えず、 proper なものとして考えていたので、 Eq.(3)にもあるように、

$$J = \det \left( \Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}}(\vv)\right) = 1$$

である。よって

$$d^4 \bar{\vx} = d^4 \vx$$ (15)

が成り立つ。 この式から四次元微小体積 $d^4\vx$ はローレンツ変換に対して不変であることが確認できる。 同様にして、

$$\eta_{\alpha\beta} = \bar{\eta}_{\mu \nu} \Lambda_{\alpha}^{\bar{\mu}}\Lambda_{\beta}^{\bar{\nu}}$$ (16)

が成り立つのが分かる。 以上からEq.(1) の $ds^2$ がローレンツ変換に対して不変であることが分かる。

上の行列式 $\det \left(\Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}(\vv)\right)$ を実際に計算してみる。

$$\Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}(\vv) = \begin{pmatrix} \gamma & -\... ...mma-1)/\vv^2 & v^3v_2(\gamma-1)/\vv^2 & 1+ v^3v_3(\gamma-1)/\vv^2 \end{pmatrix}$$

であるから、

$$\det\left(\Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}(\vv)\right) = \gamma + \frac{\gamma^2}{\vv^2} \left(v_1 v^1 +v_2v^2 + v_3v^3\... ...v_1 v^1 +v_2v^2 + v_3v^3\right) -\gamma^2 \left(v_1 v^1 +v_2v^2 + v_3v^3\right)$$

$$= \gamma^2 \left(1-\vv^2\right) =1$$

より確かに、 $\det \left(\Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}(\vv)\right)=1$ が確認できる。