4 Bessel FunctionのFourier級数表示

Bessel Functionは以下のような複素Fourier級数表示出来る：

$$e^{iz\sin\varphi } = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_{{n}}(z)e^{+in\varphi } .$$ (42)

1 証明

複素Fourier級数：

$$f(x)=f(x+n\lambda) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{+in(2\pi/\... ... \quad c_n = \frac{1}{\lambda} \int_0^\lambda f(x)e^{-in (2\pi/\lambda) x} dx.$$

$$\Longrightarrow\quad f(\varphi ) =e^{iz\sin\varphi } =e^{iz\sin\l... ...0^{2\pi} e^{iz\sin\varphi -in \varphi } d\varphi =J_{{n}}(z), \quad \because\,$$   Eq.(40)$$$$

$$\therefore\, e^{iz\sin\varphi } = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_{{n}}(z)e^{+in\varphi }$$

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp