4 電子のエネルギー分布が与えられた場合

電子のエネルギー分布がpower law:

$$N(\gamma)d\gamma = C \gamma^{-p}d\gamma$$ (61)

で与えられるとき、輻射の周波数分布を計算する。 Eq.(60)より、

$$\chi_0 = \frac{2\omega m_e c}{3eB}\gamma^{-2} \,\,\, \to \,... ...& \to & \infty \\ \hline \chi_0 & \infty & \to & 0 \end{array}$$

であるから、

$$P(\omega) = \int_0^\infty \frac{dW}{d\omega dt} N(\gamma) d\gamma = \int_0^... ...{e^3B}{m_ec^2} F(\chi_0) C \gamma^{-p} \frac{3eB}{4\omega m_ec}\gamma^3 d\chi_0$$

$$= \frac{\sqrt{3}}{2\pi} \frac{e^3B}{mc^2} \frac{3eB}{4\omega mc}C... ... m_e c}{3eB} \right)^{(3-p)/2} \int_0^\infty \chi_0^{(p-3)/2} F(\chi_0) d\chi_0$$

$$= \frac{\sqrt{3}\,e^3 C B}{2\pi m_ec^2} \frac{3eB}{4\omega m_e c}... ...ft(\frac{p}{4}+\frac{19}{12}\right) \Gamma\left(\frac{p}{4}-\frac{1}{12}\right)$$

$$= \frac{\sqrt{3}\, e^3 CB}{2\pi mc^2(p+1)} \Gamma\left( \frac{p}{... ...frac{p}{4} -\frac{1}{12} \right) \left( \frac{mc\omega}{3eB} \right)^{-(p-1)/2}$$ (62)

を得る。ここで$\Gamma$はGamma functionで、以下の関係式を用いた：

$$\int_0^\infty x^\mu F(x) dx = \frac{2^{\mu+1}}{\mu+2} \Gamma \lef... ...mu}{2} +\frac{7}{3} \right) \Gamma \left( \frac{\mu}{2} + \frac{2}{3} \right) .$$ (63)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp