3 $\gamma \gg 1$のときのEnergy Spectrum

$\gamma \gg 1$の時、Eq.(55)は$n\gg 1$が主に寄与する。 $[\omega,\omega+d\omega]$の間には、 $d\omega/\omega_{{\rm se}}$個のモードが存在する。 従ってEq.(55)を $\omega_{{\rm se}}$で割ることで、 連続的に分布した周波数あたりの強度に変換することが出来る。 今 $u=n^{2/3}\left(1-\xi^2\right), u_0=n^{2/3}\left(1-\beta^2\right)\to du=-2n^{2/3}\xi d\xi$とおくと、

$$\frac{dW}{d\omega dt} = \frac{2e^2\omega_{{\rm se}}}{c} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left... ...1}{n^{2/3}\sqrt{\pi}} \Phi\left(n^{2/3}\left[1-\xi^2\right]\right) d\xi \right]$$

$$= \frac{2e^2\omega_{{\rm se}}}{c\sqrt{\pi}} \left[ -n^{1/3} \Phi'... ...\left(1-\beta^2\right) \int_{u_0}^\infty \Phi(u) \frac{du}{2n^{2/3}\xi} \right]$$

$$= \frac{2e^3}{\sqrt{\pi}} \frac{B}{mc^2} \left( \sqrt{u_0} \left[ -\Phi'(u_0) -\frac{u_0}{2} \int_{u_0}^{\infty} \Phi(u)du \right] \right) \,; \xi\sim\beta\sim 1, 1-\beta^2\ne 0 , \, n= \left(\frac{u_0}{1-\beta^2}\right)^{3/2}$$ (58)

を得る。更に、

$$\Phi'(z) = -\frac{z}{\sqrt{3\pi}} K_{2/3}\left(\frac{2}{3}z^{3/2}... ... \Phi(z) = \sqrt{\frac{z}{3\pi}} \, K_{1/3} \left( \frac{2}{3} z^{3/2} \right)$$

であるから、

$$-\sqrt{u_0} \Phi'(u_0) -\frac{u_0^{3/2}}{2} \int_{u_0}^\infty \Phi(u)du = \frac{u_0^{3/2... ...nt_{u_0}^\infty \sqrt{\frac{u}{3\pi}}\,K_{1/3}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}\right)du$$

$$= \frac{3}{2} \frac{\chi_0}{\sqrt{3\pi}} K_{2/3}(\chi_0) -\frac{3}{4\sqrt{3}}\chi_0 \int_{\chi_0}^\infty K_{1/3}(\chi)d\chi \, ; \chi=\frac{2}{3}u^{3/2} \, \chi_0=\frac{2}{3}u_0^{3/2} \, \to \, d\chi = u^{1/2}du$$

$$= \frac{3}{2} \frac{\chi_0}{\sqrt{3\pi}} K_{2/3}(\chi_0) -\frac{3... ...t[ K_{2/3}(\chi_0) -\frac{1}{2} \int_{\chi_0}^\infty K_{1/3}(\chi)d\chi \right]$$

$$= \frac{3\chi_0}{2\sqrt{3\pi}} \left[ - \int_{\chi_0}^\infty K_{2... ...{2} \left\{ K_{-1\3}(\chi) +K_{5/3}(\chi) -K_{1/3}(\chi) \right\} d\chi \right]$$

$$= \frac{3\chi_0}{4\sqrt{3\pi}} \int_{\chi_0}^\infty K_{5/3}(\chi)d\chi$$

を得る。よって、

$$\frac{dW}{d\omega dt} = \frac{\sqrt{3}}{2\pi} \frac{e^3B}{mc^2} F(\chi_0)$$ (59)

$$\qquad F(\chi_0) = \chi_0 \int_{\chi_0}^\infty K_{5/3}(\chi)d\chi... ... \frac{3}{2}\gamma^3 \omega_{{\rm se}} = \frac{3}{2} \gamma^2 \omega_{{\rm ce}}$$ (60)

を得る。

図 2: $F(\chi )$の概形。$\chi =0.29$で最大値$0.92$をとる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp