10 直交デカルト座標間での変換

$x^j \leftrightarrow \bar{x}^j$ を二つの直交デカルト座標系 $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)=\left(\vec{i}_1,\vec{i}_2,\vec{i}_3\right)$ と $\left(\vec{i}_1',\vec{i}_2',\vec{i}_3'\right)$ との間の変換であるとして

$$\vec{r} = \sum_{j} x^j \vec{i}_j =\sum_{j} \bar{x}^j \vec{i}_j' = x^j \vec{i}_j = \bar{x}^j \vec{i}_j'$$ (75)

とする。 このとき、直交基底ベクトルの組 $\left(\vec{i}_i\right)$ をほかの直交ベクトルの組 $\left(\vec{i}_i'\right)$ の一次結合で表せば

$$\vec{i}_i' = \sum_j \left( \vec{i}_i' \cdot \vec{i}_j \right) ... ...ec{i}_i \cdot \vec{i}_j' \right) \vec{i}_j' = \sum_{j} a_{ji} \vec{i}_j'$$

と書ける。ここで $a_{ij}=\left( \vec{i}_i' \cdot \vec{i}_j \right)=\left( \vec{i}_j \cdot \vec{i}_i' \right)$ である。

このとき $x^j \vec{i}_j = \bar{x}^i \vec{i}_i'$ の両辺に左から $\vec{i}_i'$ との内積をとると

$$x^j \left( \vec{i}_i' \cdot \vec{i}_j... ...}^i \delta_{ii}=\bar{x}^i, \qquad\therefore \quad\bar{x}^i = \sum_j a_{ij} x^j$$

となり、同様に $x^i \vec{i}_i = \bar{x}^j \vec{i}_j'$ の両辺に右から $\vec{i}_i$ との内積をとると

$$x^i \left( \vec{i}_i \cdot \vec{i}_i ... ...= \sum_{j}a_{ji} \, x^j \qquad \therefore \quad{x}^i = \sum_j a_{ji} \bar{x}^j$$

である。これから

$$A = \left(a_{ij}\right) =\left(\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}\right)$$

とする。今 $x^i,\bar{x}^i$ を縦ベクトルとして変換を行列の形で書くと、

$$\vec{\bar{x}} = A \vec{x}$$

であるから、内積の不変性より

$$\vec{\bar{x}} \cdot \vec{\bar{x}} = \... ...ec{x}^T \vec{x} = \vec{x} \cdot \vec{x} \qquad \therefore \quad AA^T =A^T A =I$$

となる。ここで $I$ は単位行列である。 これから $A^T = A^{-1}$ であり、 また

$$1 = \det \left(A A^T\right) = \left(\det A^T\right)\left(\det A\right) =\left(\det A\right)^2$$

が得られ、

$$\det A = J = \tilde{J} = \pm 1$$

となる。