11 回転、反転、恒等変換

普通の座標系の回転については $J=\tilde{J} =1$ であるので、 擬テンソルやテンソル密度は普通のテンソルと同じ変換を受ける。

$$\bar{T}_j^i =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partia... ...al \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} T_{l}^k$$

ところが、 $\vec{i}_j' \to - \vec{i}_j$ であるような座標の反転（右手系から左手系への変換） については $J=\tilde{J}=-1$ であるので、 擬テンソルやテンソル密度の変換の仕方は、 普通のテンソルの変換の仕方とは異なることになる。

$$\bar{T}_j^i =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partia... ...al \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} T_{l}^k$$

二つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$ を

$$\vec{c}_i = c_i = \left(\vec{a} \times \vec{b}\right)_i = \epsilon_{ijk} a^j b^k$$

で定義する。このとき $c_i$ は

$$\bar{c}_i = \bar{\epsilon}_{ijk} \bar{a}^j \bar{b}^k = \frac{\partial x^p}{... ... a^l b^m =J \frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i} \epsilon_{pqr} a^q b^r$$

$$= J \frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i } c_p$$

と変換されるから、座標の回転、反転に対して

$$回転:J=\hspace{2mm}1 \hspace{20mm}\bar{c}_i = \frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i } c_p \quad：共変ベクトル$$

$$反転:J=-1 \hspace{20mm}\bar{c}_i = -\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i } c_p$$

の様に変換されることが分かる。また、微小変分 $d\vec{x}_1.d\vec{x}_2,d\vec{x}_3$ に対して

$$\Delta = \epsilon_{ijk} dx_1^i dx_2^j dx_3^k$$

で定義される量は、

$$\bar{\Delta} = \bar{\epsilon}_{ijk} d\bar{x}_1^i d\bar{x}_2^j d\bar{x}_3^k ... ...^q \delta_n^r dx_1^l dx_2^m dx_3^n =J \epsilon_{pqr} dx_1^p dx_2^q dx_3^r$$

$$= J \Delta$$

と変換されるので、座標の回転、反転に対して

$$回転:J=\hspace{2mm}1 \hspace{20mm}\bar{\Delta} = \Delta\hspace{2.5mm} \quad：恒等$$

$$反転:J=-1 \hspace{20mm}\bar{\Delta}= -\Delta \quad：符号反転$$

となる。