3 円筒座標

円筒座標 $\left(x^1,x^2,x^3\right)=(r,\phi,z)$ のとき、 線素は $ds^2=dr^2 +r^2 d\phi^2 +dz^2$ で与えられるので、 計量テンソルは

$$g_{11}=1, \qquad g_{22}=r^2, \qquad g_{33}=1$$

$$g^{11}=1, \qquad g^{22}=\frac{1}{r^2}, \qquad g^{33}=1$$

と与えられる。 $\Gamma_{kj}^i$ を計算すれば、零でないものは

$$\Gamma_{\phi\phi}^r = -r , \qquad \Gamma_{r\phi}^\phi=\Gamma_{\phi r}^\phi =\frac{1}{r}$$

だけである。 円筒座標を用いて、(47) の左辺で $\bm{a}^1=\bm{a}^r$ にかかる係数を計算すると

$$\left[ \rho g_{ij} \left( \frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \dot{x}^k \dot{x}_{;k}^j\right)\right]_r =\rho g_{1j} \frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \rho g_{1j} ... ...\frac{\partial \dot{x}^1}{\partial x^3} + \Gamma_{m3}^1\dot{x}^m\right) \right]$$

$$= \rho \dot{r} + \rho \left[ \dot{r} \frac{\partial \dot{r}}{\par... ...v^r}{\partial \phi} +v^z \frac{\partial v^r}{\partial z} -r\dot{\phi}^2 \right]$$

$$=\rho \left[ \frac{\partial v^r}{\partial t} +v^r \frac{\partial ... ...} +v^z \frac{\partial v^r}{\partial z} -\frac{\left(v^\phi\right)^2}{r} \right]$$

となることが分かる。同様にして (47) の左辺の $\bm{a}^2,\bm{a}^3$ のかかる係数を計算すると

$$g_{2j}\left(\frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \dot{x}^k \dot{x}_{;k}^j\right) = r\left( \frac{\partial v^\phi}{\partial t} +v^r \frac{\partial ... ...ial \phi} +v^z \frac{\partial v^\phi}{\partial z} +\frac{v^\phi}{r} v^r \right)$$

$$g_{3j}\left(\frac{\partial \dot{x}^j}{\partial t} + \dot{x}^k \dot{x}_{;k}^j\right) = \frac{\partial v^z}{\partial t} +v^r \frac{\partial v^z}{\parti... ...phi}{r} \frac{\partial v^z}{\partial \phi} +v^z \frac{\partial v^z}{\partial z}$$

となる。ここで、物理的な速度 $v^r=\dot{r},v^\phi = r\dot{\phi},v^z=\dot{z}$ を用いて表した。

円筒座標の場合に、例えば (47),(48) の右辺 $\left(g^{kj}\sigma_{ij}\right)_{;k}$ は

$$\left(g^{kj}\sigma_{ij}\right)_{;k}= g^{kj} \sigma_{ij;k} =g^{kj... ...}{\partial x^k} -\Gamma_{ik}^l \sigma_{lj} -\Gamma_{jk}^{l} \sigma_{il}\right)$$

と書き直すことができる。 $i=1$ のとき これを計算すると

$$\left(g^{kj}\sigma_{ij}\right)_{;k} \bigg\vert _{i=1} =\left(g^{kj}\sigma_{1j}\right)_{;k} =g^{kj} \left(\frac{\partial... ...}}{\partial x^k} -\Gamma_{1k}^l \sigma_{lj} -\Gamma_{jk}^{l} \sigma_{1l}\right)$$

$$=g^{11} \frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x^1} +g^{22} \frac{\... ...{r^2} \left(\frac{1}{r}\right)\sigma_{\phi\phi} -\frac{1}{r^2} (-r) \sigma_{rr}$$

$$=\frac{\partial \tilde{\sigma}_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r}\til... ...{\partial \tilde{\sigma}_{zz}}{\partial z} -\frac{\tilde{\sigma}_{\phi\phi}}{r}$$

となる。ここで $\sigma_{12}=\sigma_{r\phi}$ などである。 また物理的な次元をあわせるために

$$\sigma_{rr} =\tilde{\sigma}_{rr},\quad \sigma_{r\phi} =r\tilde{\s... ...},\quad \sigma_{zz} =\tilde{\sigma}_{zz},\quad \sigma_{rz} =\tilde{\sigma}_{rz}$$ (49)

なる $\tilde{\sigma}_{ij}$ を用いた（ $\sigma_{ij} \bm{a}^i \otimes \bm{a}^j = \tilde{\sigma}_{ij} \bm{b}^i \otimes \bm{b}^j$）。 同様にして $i=2,3$ について計算すれば、次のようになることが分かる。

$$\left(g^{kj}\sigma_{2j}\right)_{;k} =r\left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r\tilde{\si... ...\partial \sigma_{\phi z}}{\partial z} +\frac{\tilde{\sigma}_{r\phi}}{r} \right]$$

$$\left(g^{kj}\sigma_{3j}\right)_{;k} =\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r\tilde{\sigma}_{z... ...sigma}_{z\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial \tilde{\sigma}_{zz}}{\partial z}$$