4 応力テンソル

応力テンソル $\tilde{\sigma}_{ij}$ を定義 (45) を用いて計算し、 $v^r=\dot{r},v^\phi = r\dot{\phi},v^z=\dot{z}$ などを使って表すことを考える。 例えば $\tilde{\sigma}_{r\phi}$ は

$$\tilde{\sigma}_{r\phi} = \frac{1}{r} \sigma_{r\phi} =\frac{\eta}{r} \left( \frac{\partia... ...ial}{\partial r} \left(r^2 \dot{\phi}\right) -\frac{1}{r} r^2\dot{\phi} \right)$$

$$=\eta \left( \frac{1}{r} \frac{\partial v^r}{\partial \phi} +\fra... ...rtial \phi} + r\frac{r\dfrac{\partial v^\phi}{\partial r} -v^\phi}{r^2} \right)$$

$$= \eta \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial v^r}{\partial \phi} +r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v^\phi}{r}\right) \right]$$

となることが分かる。 同様に計算すると（$i=j$ のときは簡略化できて）

$$\tilde{\sigma}_{rr} = \sigma_{rr} =2\eta \left[ \frac{\partial}{\partial x^r} \left(g... ...ta \frac{\partial \dot{r}}{\partial r} = 2 \eta \frac{\partial v^r}{\partial r}$$

$$\tilde{\sigma}_{\phi\phi} = \frac{1}{r^2}\sigma_{\phi\phi} = \frac{2\eta}{r^2} \left[ \frac... ...\left( \frac{1}{r} \frac{\partial v^\phi}{\partial \phi} +\frac{v^r}{r} \right)$$

$$\tilde{\sigma}_{zz} = \sigma_{zz} =2\eta \left[ \frac{\partial}{\partial x^z} \left(g... ...eta \frac{\partial \dot{z}}{\partial z} = 2\eta \frac{\partial v^z}{\partial z}$$

$$\tilde{\sigma}_{zr} = \sigma_{zr}=\sigma_{rz} =\eta\left[ \frac{\partial}{\partial x^... ...left( \frac{\partial v^z}{\partial r} + \frac{\partial v^r}{\partial z} \right)$$

$$\tilde{\sigma}_{\phi z} = \sigma_{z \phi}=\frac{1}{r}\sigma_{z\phi} =\frac{\eta}{r}\left[... ...\frac{\partial v^z}{\partial \phi} + \frac{\partial v^\phi}{\partial z} \right)$$

となる。