5 散逸エネルギー発生率

応力テンソルの反変成分を

$$\sigma^{ij} = g^{ik}g^{jl} \sigma_{kl}$$ (50)

で定義する。さて、 粘性による単位時間当たりの散逸エネルギー発生率 $\epsilon$は、 $\sigma_{ij}$ が対称テンソルであることから、 デカルト座標系（従って $\sigma_{ij}=\sigma^{ij}$） で

$$\epsilon = \sigma_{ij} \frac{\partial v^i}{\partial x^j} = \frac{... ...rac{\partial v^j}{\partial x^i} \right) =\frac{1}{2\eta} \sigma_{ij}\sigma^{ij}$$ (51)

と与えられることが分かる。 これが一般の曲線座標系でも成り立つとすれば、円筒座標系に於いて

$$\epsilon = \frac{1}{2\eta} \sigma_{ij}\sigma^{ij} = \frac{1}{2\eta} g^{ik} g^{jl} \sigma_{ij}\sigma^{kl}$$

$$=\frac{1}{2\eta} \Big[ g^{11}g^{11} \left(\sigma_{11}\right)^2 +g... ...^{22}g^{22} \left(\sigma_{22}\right)^2 +g^{22}g^{33} \left(\sigma_{23}\right)^2$$

$$\hspace{80mm}+g^{33}g^{11} \left(\sigma_{31}\right)^2 +g^{33}g^{22} \left(\sigma_{32}\right)^2 +g^{33}g^{33} \left(\sigma_{33}\right)^2 \Big]$$

$$=\frac{1}{2\eta} \Big[ \left(\sigma_{rr}\right)^2 +\frac{1}{r^2}\... ...2 +\frac{1}{r^2}\left(\sigma_{z\phi}\right)^2 +\left(\sigma_{zz}\right)^2 \Big]$$

$$=\frac{1}{2\eta}\left[ \left(\tilde{\sigma}_{rr}\right)^2 +\left(... ...(\tilde{\sigma}_{rz}\right)^2 +2 \left(\tilde{\sigma}_{\phi z}\right)^2 \right]$$ (52)

で与えられることが分かる。 従って応力テンソルの $r\phi$ 成分だけが零でないとすると、 それ以外の成分は零であるから、散逸エネルギー発生率 $\epsilon$ は

$$\epsilon = \frac{1}{2\eta} \cdot 2 \left(\tilde{\sigma}_{r\phi}\r... ...\left[\frac{\partial}{\partial \phi} =0,\eta=\rho \nu,\Omega =\dot{\phi}\right]$$ (53)

で与えられることが分かる。