6 Christoffel の記号を用いたdivergence,Laplacianの導出

発散を求めるときに現れる $\Gamma_{ij}^k$ に関しては、 便利な公式が知られている。 例えば、正則な行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ とその逆行列 $A^{-1}=B = \left(b^{ij}\right)$ を考える。 行列 $A$ の行列式を $\det A$ と書くことにする。 また行列 $A$ の要素 $a_{ij}$ に対する余因子(cofactor) を $\Delta^{ij}$ と書くとすれば、 行列 $A$ の逆行列 $B$ の要素 $b^{ij}$ が

$$b^{ij}= {\Delta^{ji}}/{\det A}$$ (54)

で与えられることが知られている。 ここで、余因子は行列 $A$からその $i$ 行 $j$ 列を取り除いた小行列 $\tilde{A}_{ij}$ を使って

$$\Delta^{ij} =(-1)^{i+j} \det \tilde{A}_{ij}$$

で定義される。 $\delta_i^k = \sum_{j} a_{ij}b^{jk} =\sum_{j} a_{ij} \Delta^{kj}/\det A$ であるから、 $i=k$ として

$$\sum_{j} a_{ij} \Delta^{ij} =\det A$$ (55)

を得る。 ここで $i$ については和をとらない。 定義より $\Delta^{ij}$ に要素 $a^{ij}$ は含まれないので

$$\frac{\partial}{\partial a_{ij}} \left(\det A \right) = \Delta^{ij}$$ (56)

が得られる。 これを使えば

$$\frac{\partial}{\partial x^k} \left(\det A \right) = \sum_{ij} \f... ...(\det A \right) \mathrm{Tr} \left(A^{-1} \frac{\partial A}{\partial x^k}\right)$$ (57)

従って

$$\mathrm{Tr} \left(A^{-1} \frac{\partial A}{\partial x^k}\right)= \frac{\partial}{\partial x^k} \left(\ln \det A\right)$$ (58)

が得られる。 ここで $\mathrm{Tr} M$ は行列 $M$ の対角成分の和を表す。

$\Gamma_{ij}^j$ は

$$\Gamma_{ij}^j= \frac{1}{2} g^{kj} \left( \frac{\partial g_{ik}}{\... ...c{\partial g_{jk}}{\partial x^i} -\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right)$$

であるから、零以外の値をとるには $k=j$ でなければならないので、これを踏まえると (58) を用いて

$$\Gamma_{ij}^j = \frac{1}{2}g^{jk} \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} +\frac{1... ...}}{\partial x^m}\right) =\frac{1}{2}g^{jk} \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}$$

$$= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x^i} \left(\ln g \right) =... ...ft(\ln g^{1/2}\right) = \frac{\partial}{\partial x^i} \left(\ln \sqrt{g}\right)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial }{\partial x^i} \sqrt{g}$$ (59)

となることが分かる。 ここで $g=\det g_{ij}$ である。 これから

$$\mathbf{\nabla}\cdot \vec{\xi} \equiv \xi_{;j}^j =\frac{\partial ... ...frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial x^j} \left( \sqrt{g} \xi^j\right)$$ (60)

を得る。同様に

$$\mathbf{\nabla}^2 \Phi \equiv \left(g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\... ...partial x^i} \left( \sqrt{g} g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j}\right)$$ (61)

を得るが、これを展開すると

$$\frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial x^i} \left( \sqrt{g} g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j}\right) = \frac{g^{ij}}{\sqrt{g}} \left( \frac{\partial}{\partial x^i} ... ...{\partial}{\partial x^i} \left(g^{ij} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j}\right)$$

$$=\frac{\partial}{\partial x^i} \left(... ...^j}\right) +\Gamma_{ki}^i g^{kj} \frac{\partial \Phi}{\partial x^j} =(\ref{40})$$

であるから、(43) で計算したものと一致していることが分かる。