7 Levi-Civita 記号と Jacobian

さて、三つの添え字を持った Levi-Civita 記号 $\epsilon^{ijk},\epsilon_{ijk}$ を導入する。 その定義は任意の座標系で

$$\epsilon_{ijk}=\epsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if (ijk) i... ...(ijk) is an odd permutation of 1,2,3} 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ (62)

で与えられるものとする。

今 Jacobian

$$J = \det \left(\frac{\partial \vec{\bar{x}}}{\partial \vec{x}}\ri... ...lde{J}=\det \left(\frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{\bar{x}}}\right)=J^{-1}$$ (63)

を考えると、

$$J = \det \left(\frac{\partial \vec{\bar{x}}}{\partial \vec{x}}\righ... ...ar{x}^1}{\partial x^3} & \dfrac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^3} \end{vmatrix}$$

$$=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}... ...}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}$$

$$= \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^2... ... \bar{x}^2}{\partial x^q}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^r} \epsilon^{pqr}$$

$$=\epsilon_{ijk} \cdot \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\fra... ... \bar{x}^j}{\partial x^q}\frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^r} \epsilon^{pqr}$$

であるから、

$$\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^j}{... ... x^q}\frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^r} \epsilon^{pqr} =J \epsilon^{ijk}$$ (64)

となり、同様にして

$$\frac{\partial {x}^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial {x}^q}{\p... ...{\partial {x}^r}{\partial \bar{x}^k} \epsilon_{pqr} =\tilde{J} \epsilon_{ijk}$$ (65)

となることが分かる。 これから、 任意の座標系で(62) が成立するためには、 $\epsilon^{ijk}$ と $\epsilon_{ijk}$ の交換則はそれぞれ

$$\bar{\epsilon}^{ijk} =\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \fr... ...\frac{\partial {x}^r}{\partial \bar{x}^k} {J} \epsilon_{pqr} = \epsilon_{ijk}$$ (66)

で与えられなければならないことが分かる。