2-(b)

z軸から角度$\theta$の方向に放射される電磁波の電場を求めよ(ベクトルで)。問題2を参考にせよ。

2-(b)解答

偏光方向のベクトルは問題1同様に扱う。 放射される電磁波は

$$\vE_{{\rm rad}} = \left[ \frac{q}{Rc^2} \left\{ \vn\times\left(\vn\times\ddot{\vr}\right) \right\} \right]$$ (42)

であるから、まず $\vn\times\left(\vn\times\ddot{\vr}\right)$を計算する。

$$\vn= \begin{pmatrix}0\\ \sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix} ... ...omega_0 \begin{pmatrix}-\sin(\omega_0t) \\ \cos(\omega_0t) \\ 0 \end{pmatrix}$$ (43)

であるから、

$$\vn\times\left(\vn\times\ddot{\vr}\right) = \left(\vn\cdot \ddot{\vr}\right)\vn -\ddot{\vr} =v_0\omega_0 \b... ...0\omega_0 \begin{pmatrix}-\sin(\omega_0t) \\ \cos(\omega_0t) \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$= v_0\omega_0 \left[ \sin\theta\cos(\omega_0t) \begin{pmatrix}0\\... ...s(\omega_0t)\,\hat{\vy} +\sin\theta\cos\theta\cos(\omega_0t)\,\hat{\vz} \right]$$ (44)

を得る。

$$\va_1=-\hat{\vx},\quad\va_2=-\cos\theta\,\hat{\vy}+\sin\theta\,\hat{\vz}$$

であるから、

$$\vn\times\left(\vn\times\ddot{\vr}\right) = v_0\omega_0 \left[ -\sin(\omega_0t)\,\va_1 + \cos\theta\cos(\omega_0t)\,\va_2 \right]$$

となる。以上より、

$$\vE_{{\rm rad}} = \frac{q}{Rc^2} \left[\vn\times\left(\vn\times\ddot{\vr}\right)\right] = \frac{e^2Bv_0}{m_ec^3 R} \left[ \sin(\omega_0t)\,\va_1 -\cos\theta \cos(\omega_0t)\,\va_2 \right]$$

$$= \frac{e^2Bv_0}{m_ec^3 R} \left[ \sin(\omega_0t)\,\va_1 +\cos\theta \sin\left(\omega_0t-\frac{\pi}{2}\right)\,\va_2 \right]$$ (45)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp