3 逆コンプトン散乱の式、弐

観測者の系で見たとき衝突の前後での光子をそれぞれ

$$p_{\gamma i}^\alpha= \left( \frac{\vepsilon_i}{c} , \frac{\vepsil... ... f}^\alpha= \left( \frac{\vepsilon_f}{c} , \frac{\vepsilon_f}{c} \vn_f \right)$$

と書く。 同様に電子について、

$$p_{e i}^\alpha= \left( \frac{E_i}{c} ,\vp_i \right), \quad p_{e f}^\alpha= \left( \frac{E_f}{c} , \vp_f \right)$$

と書くことにする。衝突の前後で保存則(17)が成り立つとき、 Eq.(18)より、先と同じように計算すると

$$= -\frac{\vepsilon_i}{c}\frac{E_i}{c} + \frac{\vepsilon_i}{c} ... ...on_f}{c} + \frac{\vepsilon_i}{c}\frac{\vepsilon_f}{c} \vn_i \cdot \vn_f \right)$$ 0

$$= -\vepsilon_i E_i + \vepsilon_i c\vp_i \cdot \vn_i + \frac{\v... ...f\right) + \frac{\vepsilon_i \vepsilon_f}{c^2} \left(1-\vn_i \cdot \vn_f\right)$$ 0

$$= -\vepsilon_i E_i + \vepsilon_i c\vp_i \cdot \vn_i + \frac{\v... ...E_i -c\vp_i \cdot \vn_f + \vepsilon_i \left(1-\vn_i \cdot \vn_f\right) \right\}$$

$$\vepsilon_f = \vepsilon_i \frac{ E_i -c \vp_i \cdot \vn_i }{E_i -c\vp_i \cdot \vn_f + \vepsilon_i \left( 1-\vn_i \cdot \vn_f\right)}$$ (28)

を得る。 今

$$\vp_i \cdot \vn_i = p_i \cos\theta_i ,\quad \vp_i \cdot \vn_f = p_i \cos\theta_f,\quad \beta = \frac{v_i}{c}$$

$$\vn_i \cdot \vn_f = \cos\Theta = \cos\theta_i \cos\theta_f +\sin\theta_i \sin\theta_f \cos\left(\phi_i -\phi_f\right)$$

などとすると、

$$\vepsilon_f =\vepsilon_i\frac{1-\beta \cos\theta_i}{1-\beta \cos\... ..._i} \left(1-\cos\Theta\right)} \qquad\because E_i = mc^2 = \frac{p_i}{v_i}c^2$$ (29)

となる。 このとき、相対論的な電子( $\gamma \gg 1$) を考えて、

$$\theta_f \sim \gamma^{-1},\quad \left\vert 1-\cos\Theta\right\vert \sim 1$$

であるような光子と電子との散乱について、Eq.(29)の分母は

$${1-\beta \cos\theta_f +\dfrac{\vepsilon_i}{E_i} \left(1-\cos\Theta\right)} \leq {1-\beta \cos\theta_f +\dfrac{\vepsilon_i}{E_i} \left\vert 1... ...\frac{\theta_f^2}{2}+ o\left(\theta_f^2\right)\right) + \frac{\vepsilon_i}{E_i}$$

$$=1-1+\frac{1}{2\gamma^2}+\frac{1}{2\gamma^2}+ \frac{\vepsilon_i}{E_i} + o\left(\gamma^{-2}\right)$$

$$\cong \gamma^{-2} + \frac{\vepsilon_i}{E_i}$$

となる。このとき

$$\frac{\vepsilon_i}{E_i} \ll \left(\frac{mc^2}{E_i}\right)^2 = \fr... ...ma^2}\quad \hbox{及び、}\quad \left\vert 1-\beta \cos\theta_i\right\vert \sim 1$$ (30)

を満たすような電子と光子との散乱については、

$$\vepsilon_f =\frac{1-\beta \cos\theta_i}{1-\beta \cos\theta_f +\dfrac{\vepsil... ...psilon_i}{E_i}} \approx \vepsilon_i \frac{1}{\gamma^{-2}} =\gamma^2 \vepsilon_i$$ (31)

となる。 Eq.(30)の最初の条件は $\gamma \vepsilon_i \ll mc^2$ と書き換えられるが、 これは電子の静止系で見た光子のエネルギー $\gamma \vepsilon_i$ が電子の静止エネルギーに比べてとても小さいという条件になる。