3 全トルク

応力テンソルを用いると、 隣り合ったガスリングから粘性による全トルク $G(r,t)$ は、 腕の長さが $r$ のところにある r方向に垂直な単位面積に $\phi$ 方向に働く力 $\tilde{\sigma}_{r\phi}$ によるトルク $r \bm{e_r} \times \tilde{\sigma}_{r\phi} \bm{e_\phi}=r \tilde{\sigma}_{r\phi} \bm{e_k}$ を円周と円盤の厚さで積分して

$$G(r,t)= 2 \pi r \int_{-h}^{h} r \tilde{\sigma}_{r\phi} dz$$ (6)

で与えられる。 ここでは応力テンソルの $r\phi$ 成分だけが零でないとしている。 今

$$\frac{\partial}{\partial \phi}=0,\quad\int_{-h}^{h} \rho \nu dz = \Sigma \nu ,\quad v_\phi=r \Omega$$ (7)

とすると、式(5) を式(6) に代入することで

$$G(r,t ) =2\pi r \int_{-h}^{h} r \tilde{\sigma}_{r\phi} dz =2 \pi ... ...t_{-h}^{h} \rho \nu dz = 2\pi \nu \Sigma r^3 \frac{\partial \Omega}{\partial r}$$ (8)

を得る。