5 面密度の時間変化

質量保存の式(4) と角運動量保存の式(9) から ${\partial \Omega}/{\partial t}=0$ として $\Sigma$ の時間変化を考える。 式(9) の左辺第弐項は

$$\frac{\partial}{\partial r} \left( \Sigma r^3 \Omega v_r \right) ... ...rtial r}\left(r^2 \Omega \right) -r^3 \Omega \frac{\partial \Sigma}{\partial t}$$

となり、同様に第壱項は

$$r \frac{\partial }{\partial t}\left(\Sigma r^2 \Omega\right) = r^... ...tial t} \left(r^2 \Omega\right) = r^3 \Omega \frac{\partial \Sigma}{\partial t}$$

であるから、式(9) は次のようになる。

$$r \Sigma v_r \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \Omega\right) ... ...al r} \left( \nu \Sigma r^3 \frac{\partial \Omega}{\partial r}\right) \right\}$$

両辺を $r$ で偏微分をし、式(4) を代入後、両辺を $r$ で割ると

$$\frac{\partial \Sigma }{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{... ...nu \Sigma r^3 \left(-\frac{\partial \Omega}{\partial r} \right)\right\} \right]$$ (10)

を得る。 また、粘性係数 $\nu$ を一定とし、 $\Omega=\Omega_k$ を仮定すれば、式(10) は

$$\frac{\partial}{\partial r} \left[ \frac{1}{\dfrac{\partial (r^2 ... ...nu \Sigma r^3 \left(-\frac{\partial \Omega}{\partial r} \right)\right\} \right] =\frac{\partial}{\partial r} \left[ \frac{\nu}{\dfrac{\partial (r... ... 3\nu r^{1/2} \frac{\partial}{\partial r} \left( \Sigma r^{1/2}\right) \right\}$$

$$=3 \nu \left\{ \frac{1}{2}r^{-1/2} \frac{\partial}{\partial r} \l... ... + r^{1/2 }\frac{\partial^2}{\partial r^2}\left(\sqrt{r} \Sigma\right) \right\}$$

となり、また

$$\frac{\partial}{\partial r}=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\p... ...-4 x^{-3} \frac{\partial}{\partial x} + 4x^{-2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

であるから、この関係を使うと

$$(上の続き)=2 x^{-2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{r} \Si... ...a\right) +2 x^{-1} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sqrt{r} \Sigma\right)$$

であるから結局式(10) は

$$\frac{\partial}{\partial t}\left(\sqrt{r} \Sigma\right) = r^{-1/2... ... =\frac{12\nu}{x^2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\sqrt{r} \Sigma\right)$$ (11)

と書き換えることができる（ここで $x = 2 \sqrt{r}$ である）。 この式は $y=\sqrt{r} \Sigma$ について

$$\frac{\partial y}{\partial t} = f(x,t) \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

という形をした拡散方程式の形となっている。 従って $f(x,t)>0$ であれば、 ガスが星の周りでリングを形成していても時間とともに内側外側にガスが広がっていくことになる。