2 デルタ関数の関数列による表現

デルタ関数は形式的に解析関数の関数列 $\left\{\varphi _n\right\}$の極限として

$$\delta(x) = \lim_{n\to \infty} \varphi _n(x)$$ (8)

と言う形で表現することができる。 関数列は次のような性質を備えていなければならない。

1. $x=0$での値は $n\to\infty$と共に単調に増加する一方、$x\ne 0$では単調に連続的に零となる。
2. 全領域で積分すると、あらゆる$n$に対して

   $$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi _n(x)dx =1$$ (9)

   
   
   となっていなければならない。

実際には関数列 $\left\{\varphi _n\right\}$は数多く存在するが、今回は以下の二つについて考えることにする。