2 星の構造を記述する方程式

球面極座標系を用いるとき、上の仮定の許で静水圧平衡にある球対称な星の構造を記述する方程式を考える。 (3) は条件より

$${\bm{\nabla}}^2 \Phi = \frac{1}{r^2} \deL{r} \left(r^2 \del{\Phi}{r}\right) + \frac{1}... ...Phi}{\phi} = \frac{1}{r^2} \deL{r} \left(r^2 \del{\Phi}{r}\right) = 4\pi G \rho$$

$$\Longrightarrow \quad r^2 \del{\Phi}{r}= \int_{0}^r dr' \, 4\pi G \rho r'^2 = M_r G \qquad \because \quad M_r= \int_{0}^r 4\pi r'^2 \rho \, dr'$$

となるので、

$$\di{M_r}{r} = 4\pi r^2 \rho , \qquad \del{\Phi}{r}= \frac{G M_r}{r^2}$$ (7)

を得る。また (1) より

$$\del{\vv}{t} + \vv \cdot \bm{\nabla}\vv +\frac{1}{\rho} \bm{\nabla}P + \bm{\nabla}\Phi = 0 + 0 + \frac{1}{\rho} \bm{\nabla}P + \bm{\nabla}\Phi = 0 \qquad \Longrightarrow \quad \bm{\nabla}P = -{\rho} \bm{\nabla}\Phi$$

であるが、条件より

$$\bm{\nabla}= {{\vec{r}}} \del{}{r} + {\vec{\hat{\theta}}} \frac{1... ...\vec{\hat{\phi}}} \frac{1}{r\sin\theta} \del{}{\phi} = \vec{\hat{r}} \di{}{r}$$

となるので、(7)を代入して

$$\di{P}{r} = -\rho \di{\Phi}{r} = -\rho \frac{GM_r}{r^2}$$ (8)

となることが分かる。