4 Lane-Emden equation

今、密度 $\rho$ を

$$\rho = \lambda \phi^n$$ (11)

とおき、変数変換

$$\xi = \frac{r}{a} ,\qquad a = \sqrt{\frac{(n+1) K \lambda^\frac{1-n}{n}}{4\pi G}}$$ (12)

とする。すると

$$\dI{r}= \di{\xi}{r}\dI{\xi} = \frac{1}{a}\dI{\xi}$$

であるから、(9)は

$$\frac{1}{r^2} \dI{r} \left(\frac{r^2}{\rho} \di{P}{r}\right) = \frac{1}{a^2\xi^2} \frac{1}{a^2}\dI{\xi} \left[\frac{\xi^2 a^2 ... ...\frac{(n+1)K\lambda^{1/n}}{\xi^2 a^2} \dI{\xi}\left(\xi^2 \di{\phi}{\xi}\right)$$

$$= -4\pi G \rho = -4\pi G \lambda \phi^n$$

となるから、結局

$$\frac{1}{\xi^2} \dI{\xi}\left(\xi^2\di{\phi}{\xi}\right)= \frac{-... ...ambda^{1/n}} =-\frac{4\pi G a^2}{(n+1)K \lambda^\frac{1-n}{n}} \phi^n = -\phi^n$$ (13)

を得る。この方程式はLane-Emden equation と呼ばれている。