5 Lane-Emden equation の解

$\lambda = \rho_c$（中心密度）としてガス球の中心 $(\xi=0)$ で

$$\phi=1, \qquad \di{\phi}{\xi}=0$$ (14)

となるような解を求める。

ガス球の中心近傍で関数 $\phi(\xi)$ を

$$\phi(\xi)= c_0 +c_1 \xi + c_2 \xi^2 + c_3 \xi^3 + c_4 \xi^4 + \cdots$$ (15)

と展開して、係数比較により $\phi(\xi)$ を求めることを考える。 始めに (14) より $c_0=1,c_1=0$ は明らかである。 次に(15)を(13)に代入すると

$$(左辺) =\frac{1}{\xi^2} \dI{\xi}\left(\xi^2\di{\phi}{\xi}\right)=\dii{\p... ...2 c_3 \xi + 4\cdot 3 c_4 \xi^2 + 5\cdot 4 c_5 \xi^3 + 6\cdot 5c_6 \xi^4 +\cdots$$

$$\qquad + \frac{2}{\xi} \left( 2c_2\xi + 3c_3\xi^2 + 4c_4 \xi^3 + 5c_5 \xi^4 + 6c_6 \xi^5 +\cdots \right)$$

$$= 6 c_2 + 12 c_3 \xi + 20 c_4 \xi^2 + \cdots$$

$$(右辺) =-\phi^n = - \left(1+ c_2 \xi^2 + c_3 \xi^3 + c_4\xi^4+ \cdots\right)^n =-1 -nc_2 \xi^2 + \cdots$$

であるから、係数を比較すると

$$6c_2 = -1 ,\quad 12c_3 =0,\quad 20 c_4 = -nc_2, \quad \Longrightarrow \quad c_2=-\frac{1}{6},\quad c_3=0,\quad c_4 = -\frac{nc_2}{20}=\frac{n}{120}$$

となるので、$\phi(\xi)$ は

$$\phi(\xi)=1-\frac{1}{6}\xi^2 + \frac{n}{120} \xi^4 +\cdots$$ (16)

となることが分かる。

中心から積分していったときの最初の零点 $\phi(\xi=\xi_1)=0$ を星の外側の境界（星の表面）であるとする。 従って、星の半径は $R=a \xi_1$ で与えられることになる。このとき

$$R= a\xi_1 = \sqrt{\frac{(n+1) K \lambda^\frac{1-n}{n}}{4\pi G}} \,\xi_1 = \sqrt{\frac{(n+1) K}{4\pi G}} \, \lambda^\frac{1-n}{2n} \xi_1$$ (17)

である。また $M(R)$ を星の中心から半径 $R$ までの全質量だとすると $4\pi G r^2 \rho \,dr$ を $0\to R$ まで積分することで

$$M(R) = \int_0^R 4\pi G r^2 \rho \, dr =4\p... ...0^{\xi_1} \dI{\xi}\left(\xi^2\di{\phi}{\xi}\right) \qquad \because\, (\ref{13})$$

$$=-4\pi a^3 \lambda \left(\xi^2 \di{\phi}{\xi}\right)_{\xi=\xi_1}=... ...{3/2} \, \lambda^\frac{3-n}{n} \, \left(\xi^2 \di{\phi}{\xi}\right)_{\xi=\xi_1}$$

$$\therefore \quad M(R)= -4 \pi \left[\... ...{3/2} \, \lambda^\frac{3-n}{n} \, \left(\xi^2 \di{\phi}{\xi}\right)_{\xi=\xi_1}$$ (18)

を得ることができる。また星の平均密度 $\bar{\rho}$ を $\bar{\rho}=\frac{M}{{4\pi R^3}/{3}}$ とすると、 $\lambda = \rho_c$ であるから

$$\bar{\rho} =\frac{M}{{4\pi R^3}/{3}} = \frac{3M}{4\pi R^3} = -\frac{3}{4\pi ... ..._{\xi=\xi_1} =-\frac{3}{\xi_1} \rho_c \,\left(\di{\phi}{\xi}\right)_{\xi=\xi_1}$$

となることから、

$$\frac{\bar{\rho}}{\rho_c}=-\frac{3}{\xi_1} \left(\di{\phi}{\xi}\right)_{\xi=\xi_1}$$ (19)

を得る。従って、星の質量と半径とを与えれば

$$\lambda= \rho_c = -\frac{\bar{\rho}}{\dfrac{3}{\xi_1}\left(\dfrac{d\phi}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}}$$ (20)

として $\rho_c$ が求められ

$$K = \frac{4\pi G}{n+1} \frac{R^2}{\xi_1^2} \, \rho_c^{-\frac{1-n}{n}}$$ (21)

として定数 $K$ を求めることができる。

ポリトロープ指数 $n$ のガス球について、 その半径 $R$ と質量 $M$ とが与えられているとすると、圧力 $P$ は

$$P(\xi) = K \lambda^\frac{n+1}{n} \phi^{n+1} = K \rho_c^\frac{n+1}{n} \ph... ...ac{n+1}{n}\phi^{n+1} =\frac{4\pi G}{n+1} \frac{R^2}{\xi_1^2}\rho_c^2 \phi^{n+1}$$ (22)

$$=\frac{4\pi G}{n+1} \frac{R^2}{\xi_1^2}\frac{\bar{\rho}^2}{\dfrac... ...{9}{\xi_1^2}\left(\dfrac{d\phi}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}^2} \,\phi^{n+1} \notag$$

$$=\frac{1}{4\pi(n+1)} \bigg[\frac{1}{\left({d\phi}/{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}}\bigg]^2 \,\frac{GM^2}{R^4}\,\left\{\phi(\xi) \right\}^{n+1}$$ (23)

と書け、中心 $\xi=0$ に於いては

$$P_c = P(0) = \frac{1}{4\pi(n+1)} \bigg[\frac{1}{\left({d\phi}/{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}}\bigg]^2 \,\frac{GM^2}{R^4}$$ (24)

で与えられることが分かる。但しここでの議論は全て $\lambda = \rho_c$ としている。 同様に密度 $\rho$ を計算すると、

$$\rho(\xi) = \rho_c \phi^n = -\frac{\bar{\rho}}{\dfrac{3}{\xi_1}\left(\dfrac... ...3}} \frac{\phi^n}{\dfrac{3}{\xi_1}\left(\dfrac{d\phi}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}}$$

$$= -\frac{M}{4\pi R^3} \frac{\xi_1}{\left(\dfrac{d\phi}{d\xi}\right)_{\xi=\xi_1}} \,\left\{\phi(\xi)\right\}^n$$ (25)

となる。

以上からも分かるように、あるポリトロープ指数 $n$ について、 星の半径 $R$ と質量 $M$ とを与えればパラメータ $K$ も決まることになり, 星のポリトロープな構造が決まることになる。