2 フェルミ粒子

次にフェルミ粒子について考える。 Eq.(2) の両辺の自然対数をとり、 スターリングの公式を適応させると、

$$\log W_{\rm f} = \sum_j \left[ C_j \log C_j -\left( C_j -N_j \right) \log\left(C_j -N_j\right) -N_j \log N_j\right]$$ (9)

となる。ボーズ粒子の場合と同様に $N_j \to N_j + \delta N_j$ の変分を考えると、

$$\sum_j \left[ C_j \log C_j -\left( C_j -N_j \right) \log\left(C_j -N_j\right) -N_j \log N_j\right] =\delta N_j \log\left(C_j -N_j\right) +\delta N_j -\delta N_j \log N_j -\delta N_j$$

$$= \left[ \log \left(C_j -N_j\right) -\log N_j \right]\delta N_j$$

であるから、

$$\delta\left( \log W_{\rm f}\right) = \sum_j \left[ \log \left(C_j -N_j\right) -\log N_j\right]\delta N_j$$ (10)

を得る。Eq.(10) より、ボーズ粒子の場合と同じようにラグランジュの未定乗数法を用いると

$$\sum_j \left[ \log\left(C_j -N_j\right) -\log N_j -\alpha -\beta \vepsilon_j\right]\delta N_j =0$$

となり、

$$\log \frac{C_j-N_j}{N_j} = \alpha +\be... ...herefore \frac{C_j}{N_j} = {\exp\left[ \alpha +\beta \vepsilon_j \right] +1}$$ (11)

となる。即ち、

$$\frac{N_j}{C_j} = \frac{1}{\exp\left[ \alpha +\beta \vepsilon_j \right] +1}$$ (12)

を得る。

以上より、ボーズ分布、フェルミ分布は

$$\frac{N_j}{C_j} = \begin{cases}\dfrac{1}{\exp[ \alpha +\beta \vep... ...rac{1}{\exp[ \alpha +\beta \vepsilon_j ] +1} &\hbox{：フェルミ分布} \end{cases}$$ (13)

で表されることが分かる。