2 αの物理的な意味

$\alpha$ の意味を調べる為に、 系の体積 $V$ を一定に保ち、 $\alpha \to \alpha +\delta \alpha,\beta \to \beta \to \delta \beta$ と変化させ、 これに伴う $\log W$ の変化を考える。 この変化による $N_j$ の変分を $dN_j$ とすれば、 ボーズ粒子の場合Eq.(4) の $\delta$ を $d$ に置き換えて、

$$\delta \left( \log W_{\rm b}\right) =\sum_j \left[ \log \left( C_j + N_j\right) -\log N_j\right] d N_j$$ (15)

が得られるが、これにEq.(7) を代入すると

$$d\left( \log W_{\rm b}\right) = \sum_J\left( \alpha d N_j + \beta \vepsilon_j dN_j \right) = \alpha d N + \beta dE$$ (16)

を得る。同様にフェルミ統計の場合、 Eq.(10) の $\delta$ を $d$ に置き換えて、

$$d \left( \log W_{\rm f}\right) = \sum_j \left[ \log \left( C_j -N_j\right) -\log N_j\right]d N_j$$ (17)

が得られ、 これに Eq.(11) を代入すると、

$$d\left( \log W_{\rm f}\right) = \sum_J\left( \alpha d N_j + \beta \vepsilon_j dN_j \right) = \alpha d N + \beta d E$$ (18)

を得る。これよりボーズ統計、フェルミ統計に依らず、

$$d\left( \log W \right) = \alpha d N + \beta d E$$ (19)

であることが分かる。 熱力学第壱法則に依れば、 内部エネルギーの変分 $dU$ は一般に、

$$dU = - p dV + T dS + \mu dN$$ (20)

で表される。ここで、Eq.(19)を、

$$dE = \frac{1}{\beta} d \left(\log W\right) -\frac{\alpha}{\beta} dN$$ (21)

と書き直す。体積を一定としたので Eq.(20) で $dV=0$ としてよく、 また、 $\beta = 1/(k_{\rm B}T)$ であること、 内部エネルギー $U$と全エネルギー $E$ は同じものであることに留意してEq.(20) とEq.(21) を比較すると、

$$\alpha = -\beta \mu$$

の関係が得られる。