1 電場

電荷$q$を持つ荷電粒子の運動方程式は

$$\dI{t}\left(\gamma m \bm{\beta}\right) = \frac{q}{c} \bm{\beta}\times \vB$$ (15)

である。これから以下の式を得る：

$$\dot{\bm{\beta}} = -\bm{\omega}_B \times \bm{\beta} \, ; \quad \bm{\omega}_B = \frac{q \vB}{mc}\frac{1}{\gamma} .$$ (16)

磁場に平行な成分を$\parallel$、垂直な成分を$\perp$と書くと、

$$\dot{\bm{\beta}}_\parallel = 0, \quad \dot{\bm{\beta}}_{\perp} =-\bm{\omega}_B\times \bm{\beta}_{\perp}$$ (17)

と書ける。そこで右手系の座標 $\hat{\vx}\,,\hat{\vy}\,,\hat{\vz}\,$をとり、このz軸と磁場$\vB$の方向を一致させる。

今は単一の電子だけを考えて$q=-e$とすると、

$$\omega_B = \left\vert \bm{\omega}_B \right\vert =\frac{eB}{m_e c}\frac{1}{\gamma} =\frac{\omega_{{\rm ce}}}{\gamma} =\omega_{{\rm se}} .$$ (18)

この時の方程式の解は、

$$\frac{\vr_0(t')}{c} = \frac{\beta}{\omega_{{\rm se}}} \left[ \hat{\vx}\, \cos (\omega_{{\rm se}} t') +\hat{\vy}\, \sin(\omega_{{\rm se}} t') \right]$$ (19)

$$\bm{\beta}(t') =\beta \left[ -\hat{\vx}\,\sin(\omega_{{\rm se}} t') + \hat{\vy}\, \cos(\omega_{{\rm se}} t') \right]$$ (20)

となる。

以上のような座標の取り方で電子の運動を考えることで、一般性を失うことなく視線方向をyz平面内に限定することが出来る。 視線方向とz軸との成す角を$\theta$とし、 $\vn=\left(0,\sin\theta,\cos\theta\right)$と書く。

以上から、

$$\vn\times \left(\vn\times \bm{\beta}(t')\right) = \left(\vn\cdot \bm{\beta}(t')\right)\vn -\bm{\beta}(t') = \beta... ...vx}\, \sin(\omega_{{\rm se}} t')+\hat{\vy}\, \cos(\omega_{{\rm se}} t') \right]$$

$$= \hat{\vx}\, \beta \sin(\omega_{{\rm se}} t') -\hat{\vy}\, \beta... ...(\omega_{{\rm se}} t') +\hat{\vz}\, \beta \sin\theta \cos(\omega_{{\rm se}} t')$$ (21)

と書ける。この式をEq.(14)に代入する。

始めにx成分について考える。

$$\hat{E}_x\ro = -\frac{ie\omega\beta}{2\pi cR} e^{i\varphi } \int_... ...ac{\vn\cdot \vr}{c}, \quad \lambda = \frac{\omega}{\omega_{{\rm se}}}\sin\theta$$ (22)

Eq.(42)

$$e^{i\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')} =\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n (\lambda) e^{in(\omega_{{\rm se}} t')} \, ; \qquad J_n(\lambda)$$

の両辺を$\lambda$で微分すると、

$$\deL{\lambda} e^{i\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')} = \sum_{n=-... ...mega_{{\rm se}} t')} \, ; \quad \deL{\lambda}J_n(\lambda) \equiv J_n'(\lambda)$$

であるから、

$$\deL{\lambda} e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}}... ...]} =\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n'(\lambda)e^{-i(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'}$$

$$\Longrightarrow \quad \sin(\omega_{{\rm se}} t') e^{-i\left[\omeg... ... -i \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n'(\lambda)e^{-i(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'}$$

を得る。この式をEq.(22)に代入すると、

$$\hat{E}_x\ro = -\frac{e\omega\beta}{2\pi cR} e^{i\varphi } \sum_{... ...\infty}J_n'(\lambda) \int_{T_1'}^{T_2'} e^{-i(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'} dt'$$ (23)

となる。残された積分は $T_1'=T_0'-T'/2, \, T_2'=T_0'+T'/2$と置くことで実行でき、

$$\int_{T_1'}^{T_2'} e^{-i(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'} dt' = \left[ \frac{e^{-i(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'}} {-i(\omega-n\... ...m se}})T_0'} {\rm sinc}\,\left[ \frac{(\omega-n\omega_{{\rm se}})T'}{2} \right]$$

$$= T' e^{i\psi} {\rm sinc}\,\left[ \frac{(\omega-n\omega_{{\rm se}})T'}{2} \right] \, ; \qquad \psi =-(\omega-n\omega_{{\rm se}})T_0'$$ (24)

となる。以上から、

$$\hat{E}_x\ro = - \frac{e\omega \beta}{2\pi cR} e^{i\varphi} \sum_... ...\varphi +\psi = -\omega \frac{\vn\cdot\vr}{c} - (\omega-n\omega_{{\rm se}})T_0'$$ (25)

を得る。

次にy成分について考える。y成分は

$$\hat{E}_y\ro = \frac{ie\omega}{2\pi c R} \cos^2\theta e^{i\varphi... ...rm se}} t') e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]} dt'$$ (26)

と書けるが、 $e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]}$を$t'$で微分すると

$$\deL{t'} e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\... ...}} t') \right] e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]}$$

$$\Longrightarrow \quad \beta\cos(\omega_{{\rm se}} t')e^{-i\left[\... ...{1}{\sin\theta}e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]}$$

であるから。この関係を使い、また積分の第一項目を無視することで以下を得る：

$$\hat{E}_y\ro = \frac{ie\omega}{2\pi c R} \cos^2\theta e^{i\varphi } \int_{T_1'... ...eta}e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]} \right] dt'$$

$$= \frac{ie\omega}{2\pi c R} \cos^2\theta e^{i\varphi } \left\{ \l... ...ta}e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]} dt' \right\}$$

$$= \frac{ie\omega}{2\pi c R} \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} e^{i\... ...) \int_{T_1'}^{T_2'} e^{-(\omega-n\omega_{{\rm se}})t'} dt' \, ; \quad \because$$

$$= \frac{ie\omega}{2\pi cR} \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} e^{i\v... ...lambda) T' {\rm sinc}\,\left[ \frac{(\omega-n\omega_{{\rm se}})T'}{2} \right] .$$ (27)

最後にz成分について考える。z成分は、

$$\hat{E}_y\ro = \frac{ie\omega}{2\pi c R} \sin\theta\cos\theta e^{... ...rm se}} t') e^{-i\left[\omega t'-\lambda \sin(\omega_{{\rm se}} t')\right]} dt'$$ (28)

であり、y成分の $-\cos^2\theta$が $\sin\theta\cos\theta$に変わっただけである。よって以下を得る：

$$\hat{E}_z\ro = - \frac{ie\omega}{2\pi cR} \cos\theta e^{i\varphi}... ...lambda) T' {\rm sinc}\,\left[ \frac{(\omega-n\omega_{{\rm se}})T'}{2} \right] .$$ (29)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp