2 三元加速度ベクトル

1 導出壱

慣性系 $O$ に沿って速度 $\vv= \left(v,0,0\right)$ で運動している慣性系 $O'$ を考え、二つの慣性系に於ける 三元加速度ベクトル $\va$ と $\va'$ とを

$$\va = \dii{ \vx}{t} ,\qquad \va' = \dii{ \vx'}{t'}$$ (63)

で定義する。 $\vu$ を $\vu'$ で表すには、 Eq.(20) を参考に $\vv \to -\vv$ と置き換えることで

$$\vu = \frac{1}{\gamma} \frac{\vu' +\gamma \vv +\vv \left(\vv \cdot \vu'\right)(\gamma-1)/\vv^2}{1+\left(\vv \cdot \vu'\right)}$$ (64)

と書くことができる。 また今、

$$\sigma = 1+ \frac{(\vv \cdot \vu')}{c^2} = 1+ \frac{v u_x'}{c^2}$$

とする。

今角速度は光速度 $c$ で規格化されているので、 規格化する前に戻すと、

$$\vu = \frac{1}{\gamma} \frac{\vu' +\gamma \vv +\vv \left(\vv \cdot \vu'\right)(\gamma-1)/\vv^2}{1+\left(\vv \cdot \vu'/c^2\right)}$$

であるので、

$$u_x = \frac{1}{\gamma_{v}}\frac{u_x' + \gamma_v v + u_x (\gamma_v-1)}... ...ma_{v}}\frac{u_y'}{\sigma}, \quad u_z = \frac{1}{\gamma_{v}}\frac{u_z'}{\sigma}$$

となる。この両辺を $t$ で微分すると、

$$dx^0 = \gamma_v dx'^0 + \gamma_v\frac{v}{c} dx' \quad \Longrightarrow \quad c dt = \gamma_v c dt' + \gamma \frac{v}{c} dx'$$

$$\therefore \di{t'}{t} = \frac{1}{\gamma_v \sigma}$$ (65)

であるから、 これに注意すると、

$$a_x = \di{u_x}{t} =\dI{t}\left(\frac{u_x' + v}{\sigma}\right) = \frac... ..._x' \sigma -\dfrac{v}{c^2} \dfrac{du_x'}{dt} \left(u_x' + v\right) } {\sigma^2}$$

$$=\frac{ \dfrac{1}{\gamma_v} a_x' -\dfrac{v}{c^2} \dfrac{1}{\gamma... ...ma_v \sigma^3} \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) =\frac{a_x'}{\gamma_v^3 \sigma^3}$$

$$a_y = \di{u_y}{t} = \dI{t} \left(\frac{u_y'}{\gamma_ v \sigma}\right)... ...frac{v}{c^2} \frac{u_y'}{\gamma_v \sigma} \frac{a_x'}{\gamma_v \sigma^2} \notag$$

$$=\frac{a_y'}{\gamma_v^2 \sigma^2} -\frac{u_y' v}{c^2} \frac{a_x'}{\gamma_v^2 \sigma^3}$$

$$a_z = \di{u_z}{t} = \dI{t} \left(\frac{u_z'}{\gamma_ v \sigma}\right)... ...frac{v}{c^2} \frac{u_z'}{\gamma_v \sigma} \frac{a_z'}{\gamma_v \sigma^2} \notag$$

$$=\frac{a_z'}{\gamma_v^2 \sigma^2} -\frac{u_z' v}{c^2} \frac{a_z'}{\gamma_v^2 \sigma^3}$$

$$a_x = \frac{a_x'}{\gamma_v^3 \sigma^3} ,\quad a_y=\frac{a_y'}{\ga... ...a_z'}{\gamma_v^2 \sigma^2} -\frac{u_z' v}{c^2} \frac{a_z'}{\gamma_v^2 \sigma^3}$$ (66)

となる。

2 導出弐

$\vn = \vv / v$ とするとEq.(64)は

$$\vu = \frac{1}{\gamma} \frac{\vu' + \gamma \vv + \vn (\vn\cdot \vu')(\gamma-1)}{\sigma}$$

と書ける。今、

$$d\sigma %%= %\di{\sigma}{u_x'} du_x' = \frac{v}{c^2} =\di{\sigma}{\vu'}d\vu' =\frac{v}{c^2}\left(\vn \cdot d\vu'\right)$$

とすると、$\vu$ の全微分 $d\vu$ は

$$d\vu = \frac{1}{\gamma}\frac{1}{\sigma} \left\{ d\vu' + \vn \left(\vn ... ... +\vn \left(\vn \cdot \vu'\right)(\gamma-1)\right\}\left(\vn \cdot d\vu'\right)$$

$$= \frac{1}{\gamma}\frac{1}{\sigma} \left\{ d\vu' + \vn \left(\vn ... ... +\vn \left(\vn \cdot \vu'\right)(\gamma-1)\right\}\left(\vn \cdot d\vu'\right)$$

と書けることから、これを整理すると

$$\gamma d\vu = \frac{d\vu'}{\sigma} -\frac{\left(\vn \cdot d\vu'\right)}{\sigm... ...ft[-\sigma \vn (\gamma-1) + \frac{v}{c^2} \vu' + \vn(\sigma-1)(\gamma-1)\right]$$

$$= \frac{d\vu'}{\sigma} -\frac{\left(\vn \cdot d\vu'\right)}{\sigma^2} \left[ \frac{v}{c^2} \vu' - \vn(\gamma-1)\right]$$

となる。 Eq.(65) より

$$\gamma \di{\vu}{t'} = \gamma \di{\vu}{t}\di{t}{t'} = \gamma^2 \sigma \va$$

$$= \frac{1}{\sigma}\di{\vu'}{t'} -\frac{1}{\sigma^2}\left(\vn \cdo... ...}-\frac{\vn\cdot\va'}{\sigma^2} \left[\frac{v}{c^2}\vu' - \vn (\gamma-1)\right]$$

となり、最終的に

$$\va = \frac{\va'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{\vn \cdot \va'}{\gamma^2\sigma^3}\left[\frac{v}{c^2}\vu' - \vn (\gamma-1)\right]$$ (67)

となる。 今の場合、各成分は

$$a_x = \frac{a_x'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{a_x'}{\gamma^2\sigma^3} \l... ...ma^3\sigma^3} \left\{ \gamma \sigma -\gamma (\sigma-1) -\gamma+1\right\} \notag$$

$$= \frac{a_x'}{\gamma^3\sigma^3}$$

$$a_y = \frac{a_y'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{a_x'}{\gamma^2 \sigma^3} \... ...\frac{a_y'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{u_y' v}{c^2} \frac{a_x'}{\gamma^2\sigma^3}$$

$$a_z = \frac{a_z'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{a_x'}{\gamma^2 \sigma^3} \... ...\frac{a_z'}{\gamma^2\sigma^2} -\frac{u_z' v}{c^2} \frac{a_x'}{\gamma^2\sigma^3}$$

で与えられる。

もし慣性系$O'$ が粒子の瞬間的な静止系であるとすれば $u^j= 0 \to \sigma=0$ であるから

$$a_x = \frac{a_x'}{\gamma^3},\quad a_y = \frac{a_y'}{\gamma^2},\quad a_z = \frac{a_z'}{\gamma^2}$$ (68)

となる。 運動方向 $\vv$ について平行、垂直な加速度成分をそれぞれ $\va_{\parallel},\va_{\perp}$ と書くと、

$$\va_{\parallel}= \frac{\vv\left(\vv\cdot \va\right)}{\vv^2}, \quad \va_{\perp} = \va -\va_{\parallel}$$

であり、 今の場合 $\vv= \left(v,0,0\right)$ であるので

$$\va_\parallel' = \gamma^3 \va_\parallel,\quad \va_\perp' = \gamma^2 \va_\perp$$ (69)

である。