6 拡散方程式の解析解

偏微分方程式(1) は解析的に容易に解くことができる。 解を境界条件を考慮して

$$u(x,t) =\sum_{n=1}^\infty A_n(t) \sin \left(n \pi x\right)$$ (38)

とフーリエ級数展開した表すことができる。 これを(1)に代入すれば

$$\sum_{n=1}^\infty \di{A_n(t)}{t} \sin(n\pi x) =-\sum_{n=1}^\infty (n\pi)^2 A_n \sin(n\pi x)$$

となり、

$$\di{A_n(t)}{t} =- (n\pi)^2 A_n$$ (39)

を得る。 これは簡単に積分できて

$$A_n(t) = A_n^0 \exp\left[-(n\pi)^2 t\right]$$ (40)

が得られる。 ここで $A_n^0 =A_n(t=0)$ は初期条件によって決まる量である。 従って、(40)を(38) に代入して、解は形式的に

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_n^0 \exp\left[-(n\pi)^2 t\right] \sin(n\pi x)$$ (41)

で与えられることになる。また初期条件

$$u(x,t=0) =\sum_{n=1}^\infty A_n^0 \sin(n\pi x) =\Phi(x)$$ (42)

より、係数 $S_n^0$ は、

$$A_n^0 = 2\int_{0}^1 \Phi(x) \sin(n\pi x) dx$$ (43)

で与えられる。